Докажите, что если хорды равноудалены от центра окружности, то они равны.

две хорды удалены на равное растояние от центра, а значит отсекают одинаковую дугу.

искать надо где-то здесь.

 

Задача:

В прямоугольном треугольнике ABC угол C =90° угол B=30°, AB=12 см, CD- высота.  

а)Докажите, что треугольник ACD подобен треугольнику ABC, найдите отношение их площадей  б)отрезки, на которые биссектриса угла A делит катет BC

Объяснение:

а)Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны. Значит ΔАСД подобен ΔАВС:, т.к. ∠Д=∠С=90 , ∠А=∠общий. Найдем коэффициент подобия  к=АС/АВ, к=6/12, к=1/2.  

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициенту подобия: S(АСД):S(АВС)=к² , S(АСД):S(АВС)=1/4 .

б)

Найдем стороны в ΔАВС :

СА=1/2 АВ по св.угла 30, СА=6.

СВ²=АВ²-СА² по т. Пифагора, СВ²=144-36=108, СВ=√108=6√3.

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам:

СЕ:СА=ВЕ:ВА  .

Пусть СЕ=х, ВЕ=6√3-х

х:6 =(6√3-х):12

6√3-х=2х

6√3=3х

х=2√3 т.е  СЕ=2√3, ВЕ=6√3-2√3=4√3

Рассмотрим треугольник авс, ас - основание, ам-высота: пусть ас=х, тогда ав=вс=(20-х): 2 рассмотрим треугольник авм - прямоугольный, угол м прямой: ав=(20-х): 2, вм=6, ам=х: 2 по теореме пифагора: к^2+к^2=г^2: подставляем значения сторон: (х: 2)^2+6^2=((20-х): 2)^2 после возведения в квадрат избавляемся от знаменателей, умножив все члены уравнения на 4, получаем: х^2+144=400-40х+х^2 переносим иксы влево, числа - вправо, сокращаем противоположные числа, получаем: 40х=400-144 40х=256 делим все на 40: х=6.4 подставляем икс в значения длин сторон треугольника авс. ответ: ав=вс=6.8 ас=6.4