На сторонах ав и вс треугольника авс отмечены точки м и р соответственно ав=5см, вс=10см, ас=8см, вр=6см и мв=3 см. найти отрезок мр.

1) точка m делит отрезок ab в соотношении 5/3, т.е. mb=2/3 ab.

2) точка р делит отрезок bc в соотношении 10/6, т.е. bp=2/3 bc.

из пункта 1) и 2) следует, что mp параллельна ac.

3)треугольник abc подобен треугольнику mbp (по трем углам), следовательно

ab/mb=bc/bp=ac/mp

bc/bp=ac/mp, 10/6=8/x, x=(6*8)/10, x=4.8см

Вершина пирамиды проецируется на основание в центр равностороннего треугольника основания. расстояние от центра треугольника до его вершин равно r=a/sqrt(3) = 6/sqrt(3) = 2*sqrt(3) при угле бокового ребра  в 45 градусов высота равна r   h=r расстояние от центра основания до стороны правильного треугольника равно r=r/2=sqrt(3) апофема равна = sqrt(r^2+h^2)=sqrt(15) площадь основания = 6*3*sqrt(3)/2 = 9*sqrt(3) площадь боковой стороны = sqrt(15)*6/2=3*sqrt(15) полная площадь = 3*3*sqrt(15)+9*sqrt(3)=9*(sqrt(15)+sqrt(3))

1) признаки квадрата: стороны и диагонали равны. расстояние между точками: d =  √ ((х2 - х1 )² + (у2 - у1 )² + (z2 – z1 )²).пусть квадрат авсд.     ав            вс          сд            ад 2.2361      2.2361     2.2361      2.2361. стороны  равны.     ас          вд 2.8284      3.4641. диагонали не равны, авсд - не квадрат.2) пусть имеем треугольник авс, гипотенуза ас.гипотенуза ас равна  √(6²+8²) =  √(36-64) =  √100 = 10 см. высота h на гипотенузу равна: h = 2s/10 = (2*(1/2)*6*8)/10 = 4,8 см. расстояние l от вершины прямого угла до плоскости, которая проходит через гипотенузу и составляет угол в 45 градусов с плоскостью треугольника, это катет прямоугольного равнобедренного  треугольника, у которого высота h является гипотенузой.l = h*sin 45° = 4,8*(√2/2) = 2,4√2  ≈  3,394113 см.