Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 4 и образует с плоскостью основания угол 30 градусов. объем пирамиды равен?

о-центр основания

s-вершина

а-точка основания

через прямоугольный треугольник aso найдём высоту пирамиды so

sa-гипотенуза

so и oa - катеты

so=1/2*sa=1/2*4=2 (в прямоугольном треугольнике против угла в 30 гр. лежит катет в 2 р. меньше гипотенузы)

oa= √16-4=√12=2√3

oa=(a√3)/3 6√3=a√3 => a=6

sосн=(a²√3)/4=9√3

v=1/3*9√3*2=6√3

выбираем лучшее решение!

если положить, что сторона треугольника равна а, то сторона шестиугольника равна а/3, и большая диагональ шестиугольника равна 2а/3. 

возможны два варианта, удовлетворяющих условию .

1. окружность вписана в треугольник, отсекаемый стороной шестиугольника. сторона такого треугольника равна b = а/3.

2. окружность является вневписанной, то есть лежит за пределами треугольника, касаясь стороны и продолжения двух других. если провести прямую, параллельную стороне, которой касается эта окружность таким образом, чтобы оокружность оказалась вписанной, то сторона получившегося правильного треугольника будет равна b = 3а. 

для правильного треугольника сторона и радиус вписанной окружности связаны так

b = 2r√3;

в условии r =  √3; то есть b = 6; поэтому а = 18 или 2, а большая диагональ шестиугольника равна 12 или 4/3.

1. углы между диагональю и основаниями равны, поэтому из подобия 50/х = х/72; x = 60

2. диагональ в ромбе - биссектриса, то есть в прямоугольном тр-ке авк отношение гипотенузы к катету 5/3. это "египетский" тр-к (подобный 3,4,5) с одним катетом вк = 8, откуда ав = 10. площадь 10*8 = 80.

3. высота равна 5 + 6 = 11, основания относятся как 5/6, то есть 20/5 = х/6; x = 24; площадь (20+24)*11/2 = 242;

4. боковая сторона равна (8 + 2)/2 = 5, а её проекция на большее основание равна (8 - 2)/2 = 3, откуда высота равна 4, а площадь 5*4 = 20

5. пусть стороны а и b, диагональ d, тогда

a/sin(α) = d/sin(α + β)

b/sin(β) = d/sin(α + β)

s = a*b*sin(α + β) = d^2*sin(α)*sin(β)