1. в тетраэдре abcd точки m и n - середины отрезков ab и bc. докажите, что прямые ab, hm и dc параллельны одной плоскости.

решение mk - средняя линия тр-ка abd и по теореме о средней линии mk || ad аналогично мр|| ас теорема ( признак параллельности плоскостей) если две пересекающие прямые мк и мр одной плоскости, соответственно параллельны двум пересекающимся прямым ad и ас другой плоскости, то эти плоскости параллельны, то есть (mkp) || (acd)

1). сторона правильного шестиугольника равна радиусу описан. около него окружности. центральный угол,опирающийся на сторону правильного шестиугольника равен 60 градусов.значит, длина дуги =πrn⁰/180⁰ =πa*60⁰/180⁰=πa/3. 2). обозначим прямоугольник авсд, точка о - точка пересечения диагоналей. так как ав в 2 раза меньше диагонали, то угол асв=30⁰ (катет,равный половине гипотенузы, лежит против угла в 30⁰). длина дуги ав=π*10*30/180=5π/3. так как в точке о диагонали деляться попполам, то δвсд - равнобедренный и < овс=30⁰, значит < вос=180⁰-2*30⁰=180⁰-60⁰=120⁰.тогда < аод=120⁰(как вертикальный).длина дуги ад равна π*10*120/180=20π/3.

Двугранные и многогранные углы входят в новые стандарты по как базового, так и профильного уровня обучения в старших классов. однако на вычисление этих углов обычно не уделяется должного внимание. в то же время решение таких способствует выработке необходимых вычислительных навыков, повторяет различные планиметрические формулы и соотношения, развивает пространственные представления учащихся. здесь мы рассмотрим вопрос об измерении двугранных и многогранных углов. предлагаемый материал и могут быть использованы на профильном уровне при изучении темы «правильные многогранники», при проведении элективных курсов, подготовке учащихся к решению олимпиадных и вступительных экзаменов по в вузы. начнем с двугранных углов. двугранный угол является пространственным аналогом угла на плоскости. напомним, что углом на плоскости называется фигура, образованная двумя лучами этой плоскости с общей вершиной и частью плоскости, ограниченной этими лучами. будем считать аналогом точки на плоскости прямую в пространстве и аналогом луча на плоскости полуплоскость в пространстве. тогда, по этой аналогии, двугранным углом в пространстве называют фигуру (рис. 1), образованную двумя полуплоскостями, с общей ограничивающей их прямой, и частью пространства, ограниченной этими полуплоскостями. полуплоскости называются гранями двугранного угла, а их общая граничная прямая – ребром двугранного угла.