Треугольник авс-равносторонний, ав=8см, ак-биссектриса, найти вк, найти градусную меру угла вак

решение:

если треугольник равносторонний, то все его углы равны по 60 градусов(по теореме), значит вак=60/2=30 градусов.

ab=bc=ca=8, а биссектриса является медианой и высотой(по теореме), значит bk=8/2=4

если соединить середину ребра ас точку м с серединой ребра вд (точкой к), то получим отрезок мк, перпендикулярный и вд и ас (общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым вд и ас.это следует из того, что в  δмвд мв=мд ( это высоты в равных гранях тетраэдра) ⇒ мк перп-но вд (медиана в равнобедренном  δ явл-ся и высотой).аналогично,  δакс равнобедренный и медиана км явл. высотой. плоскость акс перпенд-на вд, так как ак перп.вд (в  δавд) и кс перп. вд (в  δвсд).

δакс - искомое сечение.ас=а.ак=кс.изδавд найдем ак.

ак²=ад²-кд²=а²-(а/2)²=3а²/4,   ак=а√3/2.

изδакс: км²=ак²-ам²=3а²/4-а²/4=2а²/4=а²/2,   км=а/√2

площадь  δакс: s=км*ам=а/√2 * а/2=а²/(2√2)=а²√2/4

периметр р=а+2*а√3/2=а+а√3=а(1+√3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть в треугольнике АВС угол А равен а, угол с равен ь, проведены биссектрисы AD и СЕ, которые пересекаются в точке О (см. рисунок). Рассмотрим треугольник АОС. Сумма его углов равна 180 градусам, тогда угол АОС равен 180-1/2ВАC-1/2BCA= 180- AC - ECA = 180 - 1/2 (a+b). Угол, под которым пересекаются две прямые это наименьший из углов, которые получаются при их пересечении. Докажем, что угол ЕОА будет меньше угла АОС, тогда угол ЕОА - угол, под которым пересекаются биссектрисы. Действительно, угол ЕОА является смежным с углом АОС, тогда он равен 1/2(a+b). Так как а+ь<180, 1/2(a+b)<90 и 2(a + b) < 180 /2(a+b), то есть, какими бы ни были углы а и ь, угол ЕОА всегда будет меньше угла АОС. Окончательный ответ - 1/2(a+b).