Abcd - квадрат. на его сторонах ab, bc, cd и da выбраны точки m, n, p и k соотвецтвенно так, что am=bn=cp=dk. докажите, что четырёхугольник mnpk является квадратом.

если ам=bn, а ав=вс по условию, то и мв=nc. если от равных отнять равные то получатся равные. то же самое и с другими сторонами. в общем все треугольники равнобедренные и равны между собой  по двум катетам. а в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. против углов а, в, с, д лежат стороны mn, np, pk, mk.  значит они равны, четырехугольник, как минимум параллелограмм или ромб. теперь с углами. во всех равнобедренных треугольниках углы при вершине равны 90. значит на оставшиеся 2 равные угла приходится по 45 градусов.  а теперь рассмотрим отрезок амв в точке м. угол вмn  равен 45, угол амк равен 45, значит, на осташийся угол nmk приходится 90 градусов, т.к. 180-45-45=90. то же и с другими вершинами n,p,k. получается  в mnpk все стороны равны и углы прямые, значит это квадрат, что и требовалось доказать. удачи!

 

диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. значит перпендикуляр, опущенный из вершины на диагональ квадрата - это половина его второй диагонали.

построение:

1. проведем прямую а и отметим на ней точку о. построим окружность с центром в точке о и радиусом, равным данному отрезку b. точки пересечения окружности с прямой а обозначим а и с.

2. построим перпендикуляр к прямой а, проходящий через точку о. для этого проведем две окружности с центрами в точках а и с одинакового произвольного радиуса (больше половины отрезка ас). через точки пересечения окружностей проведем прямую k. k⊥ac.

3. построим окружность с центром в точке о и радиусом, равным данному отрезку b. точки пересечения этой окружности с прямой k обозначим в и d.

квадрат abcd построен.

1.обозначим ромб авсd, а точка пересечения диагоналей - о, угол овс=50.  у ромба все стороны равны,  диагонали являются биссектрисами и противоположные углы равны, значит, если угол овс = 50, то угол авс = 50+50=100., и противоположный ему угол аdс = 100. рассмотрим треугольник вос: угол овс=50, вос = 90--> всо=180-90-50=40, следовательно, угол всd=40+40=80 и противоположный ему угол ваd=80. 2.авсd - прямоугольник, о - точка пересечения диагоналей ас и вd, угол осd = 40. в прямоугольнике диагонали равны  и точкой пересечения делятся пополам. рассмотрим треугольник соd: ос=оd --> этот треугольник равнобедренный, значит у него углы при основании равны и угол осd=оdс. сумма углов треугольника равна 180 градусам, 180-40-40=100 - угол соd- острый угол при пересечении диагоналей.