Точки а1, b1 и с1 симметричны центру i вписанной в треугольник авс окружности относительно его сторон вс, ас и ав соответственно. окружность, описанная около треугольника а1в1с1, проходит через точку а. найдите радиус окружности, описанной около треугольника авс, если вс = а.

в тр-ке аiс1имеем ai=c1i, значит он равнобедренный и угол ic1a=углу с1ai; в нем же ав - медиана, перпендикулярная стороне c1i, значит тр-к с1аi - тоже равнобедренный (углы ic1a=aic1). итак, в тр-ке аic1 все углы равны по 60.

в тр-ке авс аi - биссектриса, так как центр i вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. значит угол ваi = iac и угол вас = 60. в тр-ке авс по теореме синусов 2r=bc/sina, то есть r = a/2sin60 = a/(2*√3/2) = a/√3;

о - центр окружности - точнее, обеих окружностей, заданных в (ясно, что точки а1 в1 с1 равноудалены от центра вписанной окружности, то есть окружность, вписанная в авс и окружность, описанная вокруг а1в1с1 - и проходящая через а - имеют общий центр).

в треугольнике ас1о стороны ос1 и оа равны, и - кроме того, медиана ав перпендикулярна стороне ос1. то есть ас1о -   равносторонний треугольник.

аналогично и ав1о - равносторонний треугольник, но уже и без того ясно, что угол вао = 30 градусам, а угол сав = 60 градусам.

отсюда по теореме синусов 2rsin(60°) = a; r = a/√3;

сторона данного   треугольника а(3) равна р: 3=6√3: 3=2√3дм

формула радиуса окружности, описанной около правильного треугольника:

r=a/√3 =>  

r=2√3: √3=2 дм

  формула стороны правильного многоугольника через радиус вписанной окружности:

а(n)=2r•tg(180°: n), где r  – радиус вписанной окружности, n –  число сторон,

для правильного шестиугольника   tg(180°: n)=tg30°=1/√3

a₆=2•2•1/√3=4/√3

p=6•4/√3=8√3 дм

  как вариант:     правильный шестиугольник состоит из 6 равных правильных треугольников

в есть опечатка.думаю звучит так: ab=9, bc=12, ac=15/на стороне ав взята точка м, ам: мв=2: 1 и т.д.

из отношения получаем, что ам=6 мв=3

т.к. мк параллельно вс, по т фалеса ам: мв=ак: кс

следовательно ак=10 кс=5

треугольник авс~треугольнику амк( по 3 углам)

ав: ам=вс: мк следовательно мк=8

теперь наша найти вк

рассмотрим трапецию скмв

проведем высоты трапеции ке и mn

ke=mn

пусть се=х, тогда nb=4-х

выразим высоты трапеции по т.пифагора из трегуольников cke и nmb

ke²=25-x²

mn²=9-(4-x)²

25-x²=9-(4-x)²

32=8x

x=4

eb=12-4=8

ke=√(25-16)=3

kb=√(9+64)=√73

найдем площадь треугольника по т.герона

s=√(p*(p-mb)*(p-mk)*(p- где р-полупериметр

p=(3+8+√73)/2=(11+√73)/2

после подстановки в формулу,получаем:

s=√(11+√73)/2*(5+√73)/2*(√73-5)/2*(11-√73)/2

преобразовываем как разность квадратов соответствующих скобок и получаем:

s=√(24*24)=24

вот и все!

p.s. проверьте условие