На двух сторонах прямого угла с вершиной м выбраны точки d и k соответственно так, что md: mk=7.на биссектрисе угла dmk взята точка e, равноудалённая от точек d и k.определите длину dk, если me равно 4

если из точки e опустить перпендикуляры на md - пусть основание перпендикуляра - точка p, и на mk (точнее, на продолжение за точку к, основание перпендикуляра точка q), то ep = eq, так как me - биссектриса. поэтому треугольники dep и keq равны. то есть kq = dp.

пусть mp = mq = х; dp = kq = y;

тогда md = x + y; mk = x - y;

(x + y)/(x - y) = 7;

отсюда y = x*3/4;

далее, x = me/√2; или 2x^2 = me^2;

и при этом

dk^2 = md^2 + mk^2 = (x+y)^2 + (x - y)^2 = 2(x^2 + y^2) = 2x^2(1 + (3/4)^2) = 2x^2(25/16) =

=   me^2(25/16) = (me*5/4)^2;

dk = 5;

у этой есть слегка нестандартное решение. дело в том, что peqm - квадрат, то есть mp = pl = lk = mk, а lkq и dep - равные прямоугольные треугольники с отношением катетов 3/4, то есть египетские. то есть lk = ld = (5/4)mp, откуда сразу следует, что dk/me = 5/4 (два равнобедренных прямоугольных треугольника lpm и dlk, катеты относятся, как 5/4, так же относятся и гипотенузы).

на подобие треугольников. не буду повторяться, полное решение дано во вложенном рисунке   к , так легче рассматривать его ( когда все на одной странице) 

треугольники подобны по двум углам: вертикальному и образованному пересечением диагональю параллельных сторон параллелограмма. ( прямые углы идут уже как третьи)

в записи решения не пояснила, откуда взялись 5 и 11 в уравнениях. 

5=(2+3 ) сумма отношений отрезков меньшей диагонали,

11 = (3+8 ) сумма отношений отрезков большей диагоналию в рисунке они выполняют роль больших катетов получившихся треугольников. 

1)отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны

2)3шт

3)перпендикуляр, проведённый из вершины треугоьника к прямой содержащей противопложную сторону

4)3шт

5)треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны

6)боковые

7)треугольник все стороны которого равны

8)

рассмотрим равнобедренный треугольник abc с основанием bс и докажем что уголb=углуc. пусть ad- биссектриса треугольника abc. треугольники abd и acd равны по первому признаку равенства треугольников( ab=ac по усл., ad - общая, угол bad=углу сad, т.к. ad - биссектриса). в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, поэтому угол b= углу с. чтд