Вычислите длину диагонали прямоугольного параллелепипеда с измерениями: 1) 12, 16, 21; 2) 2, 4, , 6.

1) d=√12²+16²+21²=√144+256+441=√841=29 2) d=√2²+4²+6²=√4+16+36=√56=2√14

Длины диагоналей параллелограмма равны 6 и 8 см, а угол между ними - 60 °. Найдите длины сторон параллелограмма.

Дано :  параллелограмма ABCD (AB || DC  ;  AD || BC )

            AC = 6 см  ;  BD = 8 см  ; α= ∠AOB = 60° .

          - - - - - - - - - - - - - -

AB = DC -?   AD =BC -?

ответ:  √13 см  и √37 см .

Объяснение:  Из  Δ  AOB по теореме косинусов :

AB² =OA²+OB² - 2*OA*OB*cosα

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам

OA =OC =AC/2 = 6 см /2 = 3 см  ; OB = OD = BD/2 = 8/2 см = 4 см

AB² =3²+4² - 2*3*4*cos60° =25 -2*3*4*1/2 = 13 (см) ;

AB = √13 см ;

* * *  Известно  AC²+ BD² =2(AB² +AD²)    ⇒ AD = √37 см * * *

Аналогично из  Δ  AOD  :

AD² =OA²+OD² - 2*OA*OD*cos(180° -α )

AD² =3²+4² + 2*3*4*1/2 =25 +2*3*4*1/2 =37 (см) ;

AD =√37 см .              * * * !  6²+8² =2( (√13)²+(√37)² )

Особенность правильного шестиугольника — равенство его стороны и радиуса описанной окружности ({\displaystyle R=t}R=t), поскольку {\displaystyle 2\sin {\frac {\pi }{6}}=1}2\sin {\frac {\pi }{6}}=1.

Все углы равны 120°.

Радиус вписанной окружности равен:

{\displaystyle r={\frac {\sqrt {3}}{2}}R={\frac {\sqrt {3}}{2}}t}r={\frac {{\sqrt 3}}{2}}R={\frac {{\sqrt 3}}{2}}t

Периметр правильного шестиугольника равен:

{\displaystyle P=6R=4{\sqrt {3}}r}P=6R=4{\sqrt 3}r

Площадь правильного шестиугольника рассчитывается по формулам:

{\displaystyle S={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}R^{2}={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}t^{2}}S={\frac {3{\sqrt 3}}{2}}R^{2}={\frac {3{\sqrt 3}}{2}}t^{2}

{\displaystyle S=2{\sqrt {3}}r^{2}}S=2{\sqrt 3}r^{2}

Шестиугольники замощают плоскость (то есть могут заполнять плоскость без пробелов и наложений).

Правильный шестиугольник со стороной {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}}{\frac {1}{{\sqrt 3}}} является универсальной покрышкой, то есть всякое множество диаметра 1 можно покрыть правильным шестиугольником со стороной