Впрямоугольном треугольнике авс (угол с=90) угол а=30, ав=4корня из 3. найдите радиус окружности с центром в точке а, касающейся окружности, проходящей через вершины в, с и середину гипотенузы.

М- середина ав, о - центр окружности, к - точка пересечения во и ас. поскольку вк - диаметр окружности, а угол с - прямой,  точка к лежит на окружности.  стороны авс легко вычислить, поскольку угол а = 30°. вс = ac/2 = 2√3; ac = 4√3*( √3/2) = 6;   так же mb = mc = ac/2 = 2√3; ясно, что вмс - равносторонний треугольник. o - центр его описанной окружности.  поэтому во - биссектриса угла в. при этом точка к (в  которой  пересекаются окружность, катет ас и биссектриса во)  делит сторону ас в отношении ак/kc = ab/bc = 2; поэтому ак = 4, кс = 2; так же легко сосчитать радиус окружности ко = 2; (занятно, что проще всего в этой   это увидеть, если заметить, что кос - тоже равносторонний треугольник. хотя r = a/√3 в любом равностороннем осталось увидеть, что угол ока = 120°; - внешний угол треугольнику вкс, он равен  угол aсb + угол kbc = 90° + 30°; по теореме косинусов для треугольник аок ao^2 = 4^2 + 2^2 + 4*2 = 28; ao = 2√7; если есть две касающиеся окружности - одна радиуса 2 с центром в о, другая - радиусом r с центром в а, то ао = r + 2; отсюда r =  2√7 - 2;

1)чертим уголаов, берем вутри его точку   м(в любом месте! 2)отложим с циркуля оа1=ов1( на сторонах угла 3)получим тр-ник  а1ов1 4)проведём прямую через точку м параллельную а1в1. эта прямая-искомая   (проводим так;   прикладываем к   а1в1 сторону(катет) треугольника, а к ддругому катету(стороне треугольника) -линейку. линейку держим неподвижно, а треугольник двигаем вдоль линейки(до точки м). проводим прямую(должно быть прямая || a1b1 доказательство   треуг-ки-подобны(по двум углам, один о, а другие   -уг ов1а1-угова-соответственные при парал-ных и секущейов тр-ник ов1а1-равнобедр-й по построению, тогдаоав-равн-ный, отсюда оа=ов, что и требовалосьполучить имеет един. решение!

1) дан угол а. построим биссектрису ak. для этого проведем окружность с центром в точке а и производным радиусом, которая пересекает стороны угла в точках c и b. затем, проведем окружности с центром точках с и в с радиусом cb, которые пересекаются в точке k. проведем прямую ak-биссектрису. 2) через данную точку м нужно построить перпендикуляр к биссектрисе. для этого проведем окружность с произвольным радиусом, пересекающую стороны биссектрисы в 2х точках f  и e. проведем окружности в центрах с точками f и e с радиусом fe. они пересекаются в 2х точках x и y. проведем прямую xy-перпендикуляр к биссектрисе ak. 3) получилось, что треугольник с вершиной в точке а-равнобедренный, т.к биссектриса является высотой. значит мы построили то что надо было.