Докажите, что если (a, b) = 1, то (2a + b, a(a + b)) = 1. (a, b) - нод

Пусть (a, a+b) = k ≠ 1. Тогда a=k*s, a+b=k*l; l,s∈N, l>s. => b=k*l-a=k*(l-s) =>

(a, b)=(k*s, k*(l-s))=k*(s, l-s)≥k. Но тогда k≤1 - противоречие. А значит (a, a+b) = 1                                                  (1)

Т.к. a и a+b взаимно просты, то для любого натурального x (x, a(a+b))=(x, a)*(x, a+b). И правда: если x имеет общие множители с a(a+b), то множество этих делителей, общих с a, и множество этих делителей, общих с a+b, не пересекаются кроме как в 1 (иначе они не взаимно просты). А значит максимумы этих подмножеств также взаимно просты, и их произведение, очевидно, максимально возможное среди произведений двух элементов этих разных множеств . А значит произведение этих максимумов - искомый наибольший делитель.

Тогда  (2a + b, a(a + b)) = (2a + b, a) * (2a + b, (a + b)) = (a + (a + b), a) * (a + (a + b), (a + b)) = (*)

Аналогично доказанному ранее в пункте (1) имеем (a + (a + b), a) = (a + (a + b), (a + b)) = 1

(*) = 1*1=1

Ч.т.д.

Афористично название произведения («Век живи — век люби»), оно звучит как завет автора юным, вступающим в жизнь и перекликается с поговоркой «Век живи — век учись», однако шире и глубже. Заглавием задана ведущая тема рассказа — любви ко всему окружающему, которую ни в коем случае нельзя утратить и которая составляет основу личности, её нравственный стержень. Речь в произведении идёт о важном этапе жизни главного героя, пятнадцатилетнего Сани, — этапе взросления и осознания своего места на земле. Рассказ начинается с размышлений героя над глубинным смыслом слова «самостоятельность»: «самому стоять на ногах в жизни, без подпорок и подсказок». Пытливый и внимательный, мальчик открывает для себя мир, который воспринимает как целостную систему, людей, которые «только на чужой взгляд остаются в общем ряду», а на самом деле очень разные. Всё для героя исполнено особого смысла: жизнь, листки календаря, даже нелюбимая работа на огороде. Он принимает первое взрослое решение: «за себя в жизни ответ держать». Мальчика тяготит родительская опека, и, хотя в произведении нет конфликта «отцов» и «детей», но налицо непонимание друг друга.

Число abccd — 13225

2c+d=b² → 2*2+5=3²

a+b=c² → 1+3=2²

10a+b=a+b+2c+d → 13=1+3+2*2+5

первый шаг: a=c²-b

подставляем в третье уравнение: 10(c²-b)+b=c²-b+b+2c+d

10c²-9b=c²+2c+d

c²+2c+d=10c²-9b

d=10c²-c²-9b-2c

d=9c²-9b-2c

подставляем в первое уравнение: 2c+9c²-9b-2c=b²

9c²-9b=b² |:9

c²-b=b²/9

c²=b²/9+b

подставляем во второе уравнение: a=b²/9+b-b

a=b²/9

делаем систему из первого и третьего уравнений и от одного отнимаем второе:

b²=2c+d

-

10a+b=a+b+2c+d

b²-10a-b=2c+d-a-b-2c-d

b²-10a-b+a+b=0

b²-9a=0

b+3a=0 or b-3a=0

b=-3a b=3a

подставляем последнее а

b=-3*b²/9 b=3*b²/9

3b=-b² 3b=b²

b=-3 ∅ b=3

b=3

a=b²/9=3²/9=1

a=c²-b

c²-3=1

c²=4

c=2

d=b²-2c=9-4=5