Решить уравнение sin^2x+sin^2 2x+sin^2 3x = 3/2

sin²x + sin²(2x) + sin²(3x) = 3/2

ркшение

применим формулы:

(sin x)²  = (1 - cos 2x)/2

(sin 2x)²  = (1 - cos 4x)/2

(sin 3x)²   = (1 - cos 6x)/2

приводим к общему знаменателю и получаем:

  cox 2x + cos 4x + cos 6x = 0

(группируем первое и третье слагаемое и пользуемся формулой суммы косинусов)

2cos 4x*cos 2x+cos 4x = 0

cos 4x(2cos 2x+1) = 0

cos 4x = 0,

4x = π/2 + πn,   n  ͼ z 

x₁ = π/8 + πn/4,    n  ͼ z 

cos 2x= - 1/2

2x= ± 2π/3 + 2πk ,

x₂ =  ±  π/3+πk, k  ͼ z 

1) 7tgx -10ctgx +9 =0 |* tgx       7tg^2x -10 +9tgx = 0 tgx = y 7y^2 +9y -10 = 0 y1 = 10/14 = 5/7 у2 = -2 а) у = 5/7 tgx = 5/7 x = arctg5/7 +  k, k єz б) у = -2 tgx = -2 x = -arctg2 + k, k єz 2) 10sinxcosx -14cos^2x +2*1 = 0 10sinxcosx -14cos^2x +2(sin^2x+cos^2x) = 0 10sinxcosx -14cos^2x +2sin^2x +2cos^2x = 0 10sinxcosx  -12cos^2x +2sin^2x = 0 : cos^2x 10tgx -12 +2tg^2x= 0 tgx = y 2y^2 +10y -12=0 y^2 +  5y  -  6 = 0 по т. виета у1 = -  6 и   у2 = 1 а) у = -  6 tgx = -6 x = -arctg6+ k, kєz  б)у = 1 tgx = 1 x =  +  3) 9(cos^2x - sin^2x) -4cos^2x = 22sinxcosx + 9*1 9cos^2x - 9sin^2x -4cos^2x -22sinxcosx -9(sin^2x+cos^2x) = 0 9cos^2x - 9sin^2x -4cos^2x -22sinxcosx -9sin^2x - 9cos^2x  = 0 -18sin^2x -4cos^2x -22sinxcosx = 0 9sin^2x +2cos^2x +11sinxcosx = 0|: cos^2x 9tg^2x +2 +11tgx = 0 tgx = y 9y^2 +11y +2 = 0 y1=-1,   y2 = -2/9 a) y = -1 tgx = -1 x = - +  б) у = -2/9 tgx = -2/9 x = -arctg(2/9) +    -

Пусть у нас будет ромб abcd. по условию ab = 10 cm, а bd (диагональ) = 12 см. o - центр пересечения диагоналей. 1)  рассмотрим ромб авсd. у него bd и ас - пересекающиеся диагонали. у ромба диагонали пересекаются под прямым углом, и точкой пересечения делиться пополам, значит вo = 1/2 bd = 12 * 1/2 = 6 *(сm). 2) рассмотрим треугольник аов. он прямоугольный (угол о = 90 значит по теореме пифагора: ао^2 + bo^2 = ab^2 ao^2 + 6^2 = 10^2 ao^2 = 100 - 36 ao^2 = 64 ao = корень из 64 ao(маленькая 1 снизу) = 8 (см), ао(маленькая  2 снизу) = -8 - не удовлетворяет условие . 3) s (abcd) = 1/2*ao*bo     s (abcd) = 1/2 * 8 * 6       s (abcd) = 1/2 * 48        s (abcd) = 24 см^2 ответ: 24 см^2