Преобразуйте в многочлен выражение. 2(b+2)(b+-1)^3 (b-2)b-(b-1)(b+1)

2(b+2)(b+3)-(b-1)^3=2(b^2+3b+2b+6)-(b^3-3b^2+3b-1)=
=2b^2+10b+12-b^3+3b^2-3b+1=-b^3+5b^2+7b+13
(b-2)b-(b-1)(b+1)=b^2-2b-b^2+1=-2b+1

Сначала узнаем сколько всего чисел, кратных 102 и не превышающих 10000. Для этого достаточно вычислить неполное частное при делении 10000 на 102, это 98.

Перед нами последовательность чисел, каждое из которых делится на 102: {1·102; 2·102; 3·102; ... ; 98·102}. Узнаем, какие из этих чисел кратны 14 и 15.

Заметим, что 102 = 2·3·17, а 14 = 2·7. Числа в нашей последовательности имеют вид 102n. Тогда число такого вида будет делиться на 7, если n кратно 7. Количество таких чисел можно также найти при делении 98 на 7, это 14. Аналогично и для 15 = 3·5 можно получить, что чисел, кратных 15, в нашей последовательности [98/5] = 19 ([x] - целая часть числа x).

Итак, у нас есть 98 чисел кратных 102, из них 14 чисел кратны 14, а 19 чисел кратны 15. Тогда количество чисел, удовлетворяющих условию: 98 - 14 - 19 = 65.

Хотел бы я так сказать, однако всего их не 65 :)

Дело в том, что в нашей последовательности есть числа, которые делятся и на 14, и на 15, а мы это не учли (в нашем ответе числа такого рода вычитались по 2 раза). Это легко исправить, если узнать, сколько чисел делятся и на 14, и на 15.

Число делится и на 14, и на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на НОК(14, 15) = 210.

Заметим, что 210 = 2×3×5×7, а 102 = 2·3·17 (как уже выяснялось ранее). Значит, числа вида 120n делятся на 210, если n кратно 35. Количество таких чисел: [98/35] = 2.

Тогда у нас 65+2 = 67 чисел, удовлетворяющих условию. Можно писать ответ.

ответ: 67.

Пусть у Кати х марок, у Павла у марок.
Павел отдал Кате х марок, тогда у Кати стало 2х марок, а Павла (у-х) марок.
Катя отдала Павлу (у-х) марок, тогда у Павла стало 2(у-х) марок, а у Кати
2х-(у-х)=(3х-у) марок.
По условию 2(у-х) марок Павла на 40 больше, чем у него было, т.е. у марок.
Составляем  первое уравнение
2(у-х)-40=у
По условию (3х-у) марок Кати в три раза меньше, чем у нее было,т. е х марок.
Составляем второе уравнение
х=3(3х-у)
Решаем систему двух уравнений:
{2(у-х)-40=у      ⇒    у = 2х+40
{х=3(3х-у)          ⇒    3у=8х

3(2х+40)=8х
6х+120=8х\2х=120
х=60

у=2х+40=2·60+40=120+40=160
О т в е т. б) 160 марок собрал Павел.