1) докажите, что разность между квадратом числа, которое не делится на 3, и единицей делится на 3. 2)докажите, что если x и y не кратны 3, то разность x^2 - y^2 кратна 3. указание для 1 и 2: запишите формулу числа, которое не делится на 3 (остатки при делении на 3 – 1 или 2), поэтому два случая рассмотреть нужно. заранее огромное

Решение
1)  Если натуральное число не делится на 3, то при делении на 3
 оно даёт в остатке 1, или 2. Значит, его можно записать в виде:
 (3n – 1) или (3n – 2), где n  - натуральное число.
А)  (3n – 1)²  - 1 = 9n² – 6n + 1 – 1 = 9n² – 6n = 3*(3n² – 2n),
а значит делится на 3 (один из множителей (т.е. 3) делится на 3.
Б)  (3n – 2)² – 1 = 9n² – 12n + 4 – 1 = 9n² – 12n + 3 =
= 3*(n² – 4n + 1), а значит делится на 3  один из множителей (т.е. 3)
 делится на 3. Таким образом, разность между квадратом числа,
 которое не делится на 3, и единицей делится на 3
2)  эти числа можно представить как 3x+1 и 3x+2,
где х - любое натуральное число.
Тогда надо проверить на делимость на 3 следующее выражение: 
(3х+2)² - (3х+1)² = 9x²+ 12x + 4 - 9x² - 6x - 1 = 6x + 3  
= = 3*(2x + 1) - а это выражение делится на 3

Y=-8x/(x²+4).
1) Так как x²+4>0 при любых значениях x, то функция определена при любых х, т.е. областью определения является вся числовая ось.
2) При x=0 y=0, т.е график пересекает координатные оси в начале координат. Других точек пересечения с осями координат нет.
3) y(-x)=-y(x), так что функция является нечётной и потому её можно исследовать только при x≥0.
4) Функция непрерывна на всей числовой оси. lim y при x⇒+∞=0. Таким образом, ось ОХ является горизонтальной асимптотой. Других асимптот нет.
5) y'=(-8*(x²+4)+8x*2x)/(x²+4)²=(8x²-32)/(x²+4)²=8*(x²-4)/(x²+4)², откуда видно, что , т.е. производная обращается в 0 при x=2 и при x=-2. При x<-2 y'>0, при -2<x<2 y'<0, при x>2 y'>0. Отсюда ясно, что точка x=-2 есть точка максимума, равного y(-2)=16/(4+4)=2, а точка x=2 есть точка минимума, равного y(2)=-16/(4+4)=-2. Эти значения одновременно являются соответственно наибольшим и наименьшим значениями функции на всей области определения. 

У=5/х- 4.
1. Область определения - множество всех чисел, кроме нуля.
2. Нули функции 5/х -4 = 0, х=0,8.
3. Промежутков получается три: (-∞;0) у<0; (0;0,8)у>0; (0,8;+∞) y<0.
4.Функция убывает на каждом промежутке области определения, поэтому экстремумов нет.
5. (-∞;0)   убывает, (0;+∞) убывает.
6. График функции представляет гиперболу у=5/х, смещенную на 4 единицы вниз, поэтому функция принимает все значения, кроме -4; область значений (-∞;-4)∪(-4;+∞).
7. Наибольшего и наименьшего значений нет.
8. у(-х)= -5/х-5≠у(х) и у(-х)≠-у(х). Четной или нечетной функция не является.

у=х²+4х+5.
1. Область определения (-∞;+∞).
2. Нулей нет, т.к. дискриминант отрицательный.
3 Промежуток знакопостоянства один (-∞;+∞)у>0.
4. Функция имеет минимум в точке -b/(2a)=-2.
5. (-∞;-2] ---убывает, [-2;+∞) --- возрастает.
6.7. у(-2)= 4-8+5 = 1 - наименьшее значение функции, область значений [1;+∞).
8. функция не четная ни нечетная, т.к. у(-х) = х²-4х+5. Это не равно ни у(х) ни -у(х).