Сумма коэффициентов квадратного уравнения ах*2+вх+с=0 равна нулю тогда и только тогда, когда один корень уравнения равен один, а второй равен с/а. докажите это утверждение.

Итак, по условию a+b+c=0 => b= -(a+c)
По теореме Виета: x1+x2=-b/a .
Подставляем значения "x" из условия:
1+c/a=-b/a
1+c/a= (a+c)/a
1+c/a= 1+c/a
Что и требовалось доказать.

Заметим, что в системе х встречается только во второй степени. Поэтому, если некоторая пара (х; у) - решение системы, то и пара (-х; у) - решение системы. Так как по заданию система должна иметь только одно решение, то необходимо выполнение условия х=-х. Это достигается только при х=0.
Подставляя значение х=0 в систему, получим:

Проверим, удовлетворяют ли значения р=1 и р=-1 условию.
При р=1:


Данный случай не подходит, так как система имеет три решения.
При р=-1:


Данный случай подходит, система действительно имеет одно решение.
Кроме того, можно было построить графики уравнений:
- окружность с центром в точке (0; 0) и радиусом 1
- стандартная парабола ветвями вниз с вершиной в точке
(0; р). Двигая эту параболу вдоль оси ординат, можно убедиться, что единственное пересечение с окружностью происходит лишь при р=-1.
ответ: р=-1

Можно решить графическим

x^2+y^2=R^2 (уравнение

окружности с радиусом R и центром в начале координат)

1)Построим грвфик первого уравнения

x^2+y^2=3^2

Координаты центра окружности(0;0);Радиус R=3

2)Построим график второго уравнения

y-x^2=p

y=x^2+p (парабола, ветви вверх, координаты вершины(0;p))

Если p увеличивается, то парабола смещается вверх вдоль оси y и наоборот, если p уменьшается

3) Мы имееем:

- окружность с R=3 с центром в начале координат

- параболу, которая двигается только вдоль оси y, ветви вверх

Мы уже имеем 2 решения благодаря ветвям параболы, которые пересекают окружность в 2-ух точках. Как получить третью точку пересечения(т.е третье решение)? Сместим параболу так, чтобы ее вершина касалась окружности И ветви также продолжали пересекать окружность в 2 точках

Сместим с параболу на -3, т.е вниз на 3 точки(3 потому что радиус окружности также равен 3)

Получим конечный результат(см рис.). 3 решения при p=-3

ответ: p=-3