Найдите такие решения уравнения y^2-x^2=123, в которых значения x и y - натуральные числа.

x и y - натуральные числа, значит числа y-x и y+x - целые.

 

y^2-x^2=123

(y-x)(y+x)=123

 

123 можно записать в произведение двух целіх чисел следующим образом

123=1*123=(-1)*(-123)=3*41=(-3)*(-41).

значит получаем восемь систем уравнений

первая

y-x=1

y+x=123

y=(1+123)/2=62

x=(123-1)/2=61

(61; 62) - подходит

вторая

y-x=123

y+x=1

x=(1-123)/2=-61 - не натуральное, не подходит

третья

y-x=-1

y+x=-123

не подходит так как сумма двух натуральных чисел число натуральное, а значит неотрицательное

четвертая

y-x=-123

y+x=-1

не подходит так как сумма двух натуральных чисел число натуральное, а значит неотрицательное

пятая

y-x=3

y+x=41

y=(41+3)/2=22

x=(41-3)/2=19

(19; 22) - подходит

шестая

y-x=41

y+x=3

x=(3-41)/2=-19 - не подходит

седьмая

y-x=-3

y+x=-41

и восьмая

y-x=-41

y+x=-3

не подходят так как сумма двух натуральных чисел число натуральное, а значит неотрицательное

 

ответ: (19; ; 62)

 

1.   f(x)=x⁴/2   f'(x)=2x³   2x³< 0   x< 0   убывает                                       2x³ > 0   x> 0   возрастаfет 2. f(x)=x²+2x-2   f'(x)=2x+2=2(x+1) -         -                         + убывает х∈(-∞, -1)   возрастает х∈(-1,∞)

Cos a=cos b  ⇔ a=b+2πn или a=- b+2πn. в нашем случае a= sin x; b= cos x, поэтому получаем sin x = cos x+2πn или sin x = -cos x+2πn  и в том, и в том случае 2πn можно отбросить, из-за того, что синус и косинус принимают значения из [-1; 1].  поэтому осталось решить два простейших уравнения sin x = cos x   и   sin x = - cos x. неохота эти уравнения решать стандартно, решим исходя из определения тригонометрических функций. поскольку cos x - это абсцисса, а sin x - ордината точки на единичной окружности, то синус и косинус в точках пересечения с единичной окружностью  биссектрисы первого и третьего координатных углов, а отличаются знаком   - биссектрисы второго и четвертого углов. эти четыре точки решение      x=π/4+πn/2; n∈z