Вычислите значение выражения (2×3)^2+(-3×4)^3-(5×2)^4

(2x3)^2+(-3x4)^3-(5x2)^4=6^2+1^3-10^4=36+1-10000=(-9963)

На данном уроке мы познакомимся с одним из самых важных и наиболее распространенных приемов, который применяется в ходе решения неопределенных интегралов – методом замены переменной. Для успешного освоения материала требуются начальные знания и навыки интегрирования. Если есть ощущение пустого полного чайника в интегральном исчислении, то сначала следует ознакомиться с материалом Неопределенный интеграл. Примеры решений, где я объяснил в доступной форме, что такое  интеграл и подробно разобрал базовые примеры для начинающих.

Технически метод замены переменной в неопределенном интеграле реализуется двумя :

– Подведение функции под знак дифференциала;

– Собственно замена переменной.

По сути дела, это одно и то же, но оформление решения выглядит по-разному.

Начнем с более простого случая.

Подведение функции под знак дифференциала

На уроке Неопределенный интеграл. Примеры решений мы научились раскрывать дифференциал, напоминаю пример, который я приводил:

То есть, раскрыть дифференциал – это формально почти то же самое, что найти производную.

Пример 1

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Смотрим на таблицу интегралов и находим похожую формулу: . Но проблема заключается в том, что у нас под синусом не просто буковка «икс», а сложное выражение. Что делать?

Подводим функцию  под знак дифференциала:

Раскрывая дифференциал, легко проверить, что:

Фактически  и  – это запись одного и того же.

Но, тем не менее, остался вопрос, а как мы пришли к мысли, что на первом шаге нужно записать наш интеграл именно так: ?  Почему так, а не иначе?

Формула  (и все другие табличные формулы) справедливы и применимы НЕ ТОЛЬКО для переменной , но и для любого сложного выражения ЛИШЬ БЫ АРГУМЕНТ ФУНКЦИИ ( – в нашем примере) И ВЫРАЖЕНИЕ ПОД ЗНАКОМ ДИФФЕРЕНЦИАЛА БЫЛИ ОДИНАКОВЫМИ.

Поэтому мысленное рассуждение при решении должно складываться примерно так: «Мне надо решить интеграл . Я посмотрел в таблицу и нашел похожую формулу . Но у меня сложный аргумент  и формулой я сразу воспользоваться не могу. Однако если мне удастся получить  и под знаком дифференциала, то всё будет нормально. Если я запишу , тогда . Но в исходном интеграле  множителя-тройки нет, поэтому, чтобы подынтегральная функция не изменилась, мне надо ее домножить на ». В ходе примерно таких мысленных рассуждений и рождается запись:

Теперь можно пользоваться табличной формулой :

Готово

Единственное отличие, у нас не буква «икс», а сложное выражение .

Выполним проверку. Открываем таблицу производных и дифференцируем ответ:

Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно.

Найти неопределенный интеграл.

:

Объяснение:

В решении.

Объяснение:

Задача 1)Найти уравнение прямой, проходящей через k(2;-1) и m(-2;4).

Формула, при которой можно построить уравнение прямой по двум точкам:  

(х-х₁)/(х₂-х₁)=(у-у₁)/(у₂-у₁)  

k(2; -1) и m(-2; 4)  

х₁=2      у₁= -1

х₂= -2    у₂= 4

Подставляем данные в формулу:

(х-2)/(-2)-2)=(у-(-1))/(4-(-1))

(х-2)/(-4)=(у+1)/5 перемножаем крест-накрест, как в пропорции:

5(х-2)= (у+1)(-4)

5х-10= -4у -4

4у= -5х+6

у= (-5х+6)/4

у= -1,25х + 1,5 - искомое уравнение.

Задача 2)Найти прямую, проходящую через k(3;-2)перпендикулярно прямой x+2y-4=0.

2у = -х+4

у= -0,5х +2.

Чтобы прямая была перпендикулярна графику заданной функции, коэффициент при х должен быть равным по значению, но с противоположным знаком, значит, k=0,5.

Нужно найти коэффициент b, используя известные координаты точки k (3; -2).

Подставить в уравнение данные значения и вычислить b:

-2 = 0,5*3 + b

-b = 1,5+2

b = -3,5

у = 0,5х-3,5 - искомое уравнение.