При каких отрицательных значениях k прямая y=kx+2 пересекает окружность x^2+(y-4)^2= 2 в двух точках

Подставляем первое уравнение во второе.
x²+(kx+2-4)²=2
x²+(kx-2)²=2
x²+k²x²-4kx+4=2
(k²+1)x²-4kx+2=0
Решаем квадратное уравнение
D=(4k)²-4(k²+1)*2=16k²-8k²-8=8k²-8=8 (k²-1)
Квадратное уравнение имеет два решения когда его дискриминант больше нуля.
k²-1>0
k²>1
k <-1 или k>1
ответ: k ∈(-∞;-1)

1)
f(x) =((5-3x)^4)*(3x-1)³ ;
f '(x) =4( 5-3x)³ (5-3x) ' (3x-1)³ +(5-3x)^(4)*3(3x-1)² (3x-1)' = - 12(5-3x)³  (3x-1)³
+9(5-3x)^4 *(3x-1)² = (5-3x)³(3x-1)²(-12(3x-1) +9(5 -3x)) =  -3(5-3x)³(3x-1)²(21x - 19) ;
-3(5-3x)³(3x-1)²( 21x -19) < 0 ;
(5-3x)²(3x-1)² *(5-3x)(21x-19) >0;

         -                      +                       -                     +
1/3  19 /21 5/3
 
x∈ (1/3; 19/21) U (5/3; ∞). 
2) 
а)  y =(x+2)/√x ;
y=(√x +2/√x) ;
y ' =1/(2√x)  -1/√x³ 
б)  y=(x² -3)*(x+x³);
y '  =2x(x+x³) +(x² -3)(1+3x²);
y ' = 5x^4 - 6x² - 3.

y =x^5 - 2x³ -3x ;
y ' =5x^4 -6x²² -3 . 

1) Вершина параболы имеет координаты ( 4; 4)
С осью х нет пересечения
С осью у пересечение ( 0;20 )
2) у = х² + х = (х + 1/2)² - 1/4
    Вершина параболы имеет координаты (-1/2; -1/4)
С осью пересечение в точках  (0;0) и (-1; 0)
С осью у пересечение  ( 0;0)
3) х² - 4х +3 = ( х - 2)² -1  
 Вершина параболы имеет координаты (2; -1)
С осью пересечение в точках  (1; 0) и (3 ; 0)
С осью у пересечение  ( 0;3)
4) у = 2х² - 3х - 2 = 2( х - 3/4)² - 25/8
вершина параболы имеет координаты: ( 3/4; - 25/8)
с осью х пересечение (-1/2; 0)  и  ( 2;  0)
с осью у пересечение  (0; -2)