Решите : имеются помидоры, огурцы, лук, редис, зелёный горошек, сметана и майонез. сколько различных салатов можно приготовить, если в каждый из них должно входить два различных вида овощей и заправка.

Из 5-ти  видов овощей выбираем 2 вида. Из 2-х видов заправки выбираем один вид. Применяем правило произведения.

Заметим ,что наименьшие значения  функций:

2^(x-3) +4>4

5*|tg(x)|+3*|ctg(x)|>=2√15      (из соображений  полного квадрата  и положительности каждого из членов |tg(x)|*|ctg(x)|=1)

Рассмотрим случай когда : a<-2√15

В этом случае  числитель будет  отрицателен при любом  x:

a-(2^(x-3) +4)<0

Знаменатель  же ,будет положителен не всегда, тк  при  каком нибудь x обязательно  найдется значение    5*|tg(x)|+3*|ctg(x)|>a ,тк  оно  имеет область значений от 2√15  до бесконечности) .  То есть в зависимости от x, может быть как и положителен так и отрицателен. Вывод: при a<-2√15  будут существовать решения неравенства.

Рассмотрим случай когда: a>4

Тут  ситуация иная:

Знаменатель тут  всегда положителен,а вот  числитель не  всегда отрицателен,то есть решения так же будут существовать .

Наконец рассмотрим случай когда:

     -2√15<=a<=4

В  этом случае числитель всегда  отрицателен (при  любом x), а  знаменатель же  наоборот будет неотрицателен. Таким образом только на  этом интервале неравенство не будет иметь решения не для какого x. Тк  отношение числителя и знаменателя всегда будет отрицательным. P.S  Не у  кого тут нет вопросов  почему  строгое неравенство  для -2√15(знаменателю быть равным нулю не запрещается,тк наша цель отсутствие решений). Почему  же строгое и для  4,  а дело  все в том ,что: 2^(x-3) +4≠4  , а только стремится к нему при  стремлении x к бесконечности,поэтому опасаться за равенство нулю  числителя не  стоит.

Таким образом

ответ:  a∈[-2√15;4]

Заметим ,что наименьшие значения  функций:

2^(x-3) +4>4

5*|tg(x)|+3*|ctg(x)|>=2√15      (из соображений  полного квадрата  и положительности каждого из членов |tg(x)|*|ctg(x)|=1)

Рассмотрим случай когда : a<-2√15

В этом случае  числитель будет  отрицателен при любом  x:

a-(2^(x-3) +4)<0

Знаменатель  же ,будет положителен не всегда, тк  при  каком нибудь x обязательно  найдется значение    5*|tg(x)|+3*|ctg(x)|>a ,тк  оно  имеет область значений от 2√15  до бесконечности) .  То есть в зависимости от x, может быть как и положителен так и отрицателен. Вывод: при a<-2√15  будут существовать решения неравенства.

Рассмотрим случай когда: a>4

Тут  ситуация иная:

Знаменатель тут  всегда положителен,а вот  числитель не  всегда отрицателен,то есть решения так же будут существовать .

Наконец рассмотрим случай когда:

     -2√15<=a<=4

В  этом случае числитель всегда  отрицателен (при  любом x), а  знаменатель же  наоборот будет неотрицателен. Таким образом только на  этом интервале неравенство не будет иметь решения не для какого x. Тк  отношение числителя и знаменателя всегда будет отрицательным. P.S  Не у  кого тут нет вопросов  почему  строгое неравенство  для -2√15(знаменателю быть равным нулю не запрещается,тк наша цель отсутствие решений). Почему  же строгое и для  4,  а дело  все в том ,что: 2^(x-3) +4≠4  , а только стремится к нему при  стремлении x к бесконечности,поэтому опасаться за равенство нулю  числителя не  стоит.

Таким образом

ответ:  a∈[-2√15;4]