Пусть х1 и х2 корни равнения 2х^2-5x-4=0 не вычисляя корней, нйдите значения: 1/х1^2+1/х2^2 x1x2^4+x2x1^4

По теореме Виета
x1*x2 = c/a = -4/2 = -2
x1 + x2 = -b/a = 5/2 = 2,5
Теперь решаем
1) 1/x1^2 + 1/x2^2 = (x1^2 + x2^2)/(x1^2*x2^2)
Чтобы не путаться в скобках, я напишу числитель и знаменатель отдельно.
Числитель:
x1^2 + x2^2 = x1^2 +2x1*x2 + x2^2 - 2x1*x2 = (x1+x2)^2 - 2x1*x2 =
= 2,5^2 - 2(-2) = 6,25 + 4 = 10,25
Знаменатель:
x1^2*x2^2 = (x1*x2)^2 = (-2)^2 = 4
Дробь:
10,25/4 = (41/4) / 4 = 41/16
2) x1*x2^4 + x2*x1^4 = x1*x2*(x2^3+x1^3) = x1*x2*(x1+x2)(x1^2-x1*x2+x2^2) =
= (-2)*2,5*(x1^2+2x1*x2+x2^2-3x1*x2) = -5*((x1+x2)^2-3x1*x2) =
= -5*(2,5^2-3(-2)) = -5*(6,25+6) = -5*12,25 = -61,25 = -245/4

1) домножим левую и правую части на x. чтобы избавиться от дроби

3x^2 + 3 = 6x

3x^2 - 6x + 3 = 0

D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 *3 * 3 = 36 -36 = 0. [1 корень]

x= -b /2a = 6 / 6 =1

ответ: 1

2) приводим дроби к общему знаменателю

к первой дроби доп.множитель Х, ко второй (x^2 +2)

3x - (x^2 +2)        -x^2 + 3x - 2

 -->  

 x (x^2 + 2)           x (x^2 + 2)

система:

{-x^2 + 3x - 2 = 0

{x (x^2 + 2) 0

-x^2 + 3x - 2 = 0

D = b^2 - 4ac = 9 - 8 = 1   2 корня

x1,2 = -b ± √D  / 2a

x1 = -3 + 1  /-2 = -2/-2 = 1

x2 = -3 -1  / -2 = -4/-2 = 2

ответ: 1;2

фото прикреплю, так легче

х|x| = x

 

При х ≥ 0  уравнение имеет вид:  х*x = x

 х² = x

 х² - x = 0

х(х -1) = 0

х = 0     или   х = 1                    

(т.е  при х ≥ 0  уравнение имеет два корня)

При х < 0  уравнение имеет вид:  х*(-x) = x

- х² = x

- х² - x = 0

- х(х +1) = 0

х = 0        или   х = - 1

(т.е  при х < 0  уравнение тоже  имеет два корня)

Имеем: 

         при х ≥ 0                                                       при  х < 0
            х = 0     или   х = 1               или               х = 0               или   х = - 1

 

=>             корни:    х = 0     или   х = 1 или   х = - 1

ответ:  3.