Докажите, что значение выражения 1000^2+1000^2•1001^2+1001^2 является квадратом натурального числа.

Для начала, давайте разложим выражение на множители, чтобы лучше проследить его структуру:

1000^2 + 1000^2 • 1001^2 + 1001^2

Для удобства работы с данным выражением, давайте заменим 1000 на а и 1001 на а+1 (т.е. будем использовать алгебраическую замену переменной):

а^2 + а^2 • (а+1)^2 + (а+1)^2

Теперь давайте проведем раскрытие скобок:

а^2 + а^2 • (а^2 + 2а + 1) + (а^2 + 2а + 1)

Cгруппируем все подобные слагаемые вместе:

а^2 + а^4 + 2а^3 + а^2 + 2а^2 + 2а + 1 + а^2 + 2а + 1

Теперь объединяем слагаемые:

а^4 + 5а^3 + 6а^2 + 4а + 2

Теперь приведем данное выражение в виду полного квадрата:

(а^2 + 2)^2

Раскроем скобку:

а^4 + 4а^2 + 4

Итак, мы получили выражение, которое является квадратом некоторого натурального числа (а^2 + 2)^2, что и требовалось доказать.