кто чем сможет Задача 1: 1 : 2 Все звенья десятизвенной ломаной A 0 A 1 … A 1 0 A ​0 ​​ A ​1 ​​ …A ​10 ​​ имеют целочисленную длину, длина всей ломаной составляет 1 2 0 120 и никакие три вершины ломаной не лежат на одной прямой. Найдите наибольшую возможную длину ломаной A 0 A 1 A 2 A 4 A 8 A 1 0 A ​0 ​​ A ​1 ​​ A ​2 ​​ A ​4 ​​ A ​8 ​​ A ​10 ​​ , если её звенья также целочисленны. Пример записи ответа 17 Отправить Задача 2: 2 : 3 Натуральные числа a a и b b таковы, что НОК ( a , b ) + (a, b)+ НОД ( a , b ) = 3 a + 7 b (a, b)=3a+7b. Найдите наименьшее возможное значение числа a a. Пример записи ответа: 17 Отправить Задача 3: 3 : 3 Из числа, записанного на доске, вычитают его наибольшую цифру, после чего получившуюся разность записывают на доску вместо исходного числа. После 1 1 11 таких операций на доске оказалось число 1 0 0 100. Какое наибольшее число могло быть записано изначально? Пример записи ответа: 17 Отправить Задача 4: 4 : 3 По шоссе, представляющему из себя окружность, провели заезд 1 0 10 машин. Каждая из машин ехала с постоянной скоростью. Первая машина проехала ровно 1 1 11 кругов, вторая − − ровно 1 2 12, и так далее, последняя − − ровно 2 0 20. Каждая следующая машина проехала на один круг больше предыдущей. Стартовали и финишировали все машины одновременно в одной и той же точке. К каждой точке, в которой хотя бы один раз произошёл обгон, поставили флажок. Сколько всего получилось флажков? Пример записи ответа: 17 Отправить Задача 5: 5 : 3 В некоторой стране 1 1 11 городов. Некоторые города были соединены двусторонними авиарейсами, не больше одного рейса между каждыми двумя городами. Из-за пандемии часть авиарейсов закрыли. После этого страна оказалась разделена на 5 5 частей, между которыми не существует авиарейсов. Какое наибольшее число рейсов могло остаться? Пример записи ответа: 17 Отправить Задача 6: 6 : 3 График приведённого квадратного трёхчлена f ( x ) f(x) касается прямой y = x y=x (то есть имеет с ней единственную общую точку Кроме того, этот трёхчлен имеет единственный корень. Найдите этот корень. Примеры записи ответа: 17 -1/7 1, 7 1.7 Отправить Задача 7: 7 : 3 Числа p ⩽ q ⩽ r p⩽q⩽r простые, и число s = 6 p 4 + 5 q 4 + 4 r 4 s=6p ​4 ​​ +5q ​4 ​​ +4r ​4 ​​ тоже простое. Найдите наибольшее возможное значение s s. Пример записи ответа: 17 Отправить Задача 8: 8 : 3 Точки A A, B B, C C, D D, E E и F F лежат на окружности именно в таком порядке. Хорды A D AD и B E BE пересекаются в точке X X, A D AD и C F CF в точке Y Y, B E BE и C F CF в точке Z Z. X A = 1 2 XA=12, X B = 1 4 XB=14, Y C = 2 2 YC=22, Y D = 2 5 YD=25, Z E = 2 0 ZE=20, Z F = 1 5 ZF=15. Треугольник X Y Z XYZ равносторонний. Найдите его сторону. Пример записи ответа: 17 Отправить Задача 9: 9 : 4 На сторонах A D AD и B C BC параллелограмма A B C D ABCD отмечены точки E E и F F соответственно. Отрезки A F AF и B E BE пересекаются в точке K K, а отрезки D F DF и C E CE в точке M M. S B F K = 3 S ​BFK ​​ =3, S C F M = 2 5 S ​CFM ​​ =25, S E M F K = 2 6 S ​EMFK ​​ =26. Найдите S C M D S ​CMD ​​ . Пример записи ответа: 17 Отправить Задача 10: 10 : 5 У Вани есть четыре краски. Сколькими он может раскрасить вершины куба каждую в свой цвет, если у одной грани могут быть вершины максимум двух различных цветов? Все цвета использовать не обязательно, раскраски, отличающиеся поворотом или симметрией считаются разными. Пример записи ответа: