Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y=1/2cos2x+sinx на отрезке [0; π/2]. распишите производную, , полностью

Y=1/2cos2x+sinxy'=1/2 *(-sin2x)*2+cosx=-sin2x+cosxcosx-2sinxcosx=0cosx(1-2sinx)=01)cosx=0; x=π/22)1-2sinx=0sinx=1/2x=π/6y(0)=1/2y(π/6)=1/2 *cosπ/3+sinπ/6=1/4+1/2=3/4y(π/2)=1/2 *cosπ+sinπ/2=-1/2+1=1/2y(max)=3/4y(min)=1/2

Y= (1/2)•cos2x + sinxy' = ( (1/2)•cos2x + sinx )' = ((1/2)•cos2x)' + (sinx)' = (1/2)•(-sin2x)•(2x)' + cosx = (1/2)•(-sin2x)•2 + cosx = - sin2x + cosxy' = - sin2x + cosx , y' = 0- sin2x + cosx = 0- 2sinx•cosx + cosx = 0cosx•(- 2sinx + 1) = 01) cosx = 0x = п/2 + пn, n принадлежит z2) sinx = 1/2x = п/6 + 2пk, k принадлежит zx = 5п/6 + 2пm, m принадлежит zп/2 и п/6 принадлежат   [0; п/2]

у' -------[(0)++++++(п/6)-------(п/2)]-------

унаиб(п/6) = (1/2)•cos(п/3) + sin(п/6) = (1/2)•(1/2) + (1/2) = 0,25 + 0,5 = 0,75унаим(0) = (1/2)•cos0 + sin0 = (1/2) + 0 = 0,5унаим(п/2) = (1/2)•cosп + sin(п/2) = - (1/2) + 1 = 0,5ответ: у(наиб) = 0,75 ; у(наим) = 0,5

1)найдём длину и уравнение медианы bm. поскольку bm - медиана, то m - середина стороны ac. воспользуемся формулой для вычисления координат середины отрезка, поскольк мы знаем координаты его концов(отрезок ac):

x = (x1  + x2) / 2 = 5 + 0  /  2 = 2.5

y = (y1 + y2) / 2 = (-6 + 10) / 2 = 2

  таким образом, m(2.5; 2)

теперь, зная координаты точки b и координаты точки m по формуле найдём длину отрезка bm:

|bm| = √(x-x₀)²+(y-y₀)², где x,y - абсцисса и ордината конца отрезка, x₀,y₀ - абсцисса и ордината начала отрезка. подставим и вычислим:

|bm| = √(2.5+3)²+(2 - 4)² = √(30.25 + 4) = √34.25 (советую проверить потом, верно ли я везде посчитал, так как в спешке всё делаю, но сама суть думаю, ясна).

  теперь нужно найти уравнение медианы: искать будем его в общем виде y = kx + b(нужно найти k и b). учитывая тот факт, что раз прямая проходит через точки b и m, её координаты должны удовлетворять формуле. подставим координаты обоих точек в общее уравнение и составим и решим систему:

 

4 = -3k + b                        3k - b = -4              5.5k = -2                    k = -2/5.5

2 = 2.5k + b                    2.5k + b = 2          3k - b = 4                b = 3k - 4 = -6/5.5 - 4 (ну вот, где-то точно в вычислениях ошибся)

b = -28/5.5(так вроде посчитал).

теперь подставим k и b в общий вид, и получим то, что хотели, то есть уравнение медианы:

y = -2/5.5 k - 28/5.5 (коэффициенты получились не самые хорошие, это может быть связано как с вычислительной ошибкой, так и с самим условием, хотя всё проверял, по идее всё верно подсчитано должно быть)

 

2)длину высоты ch найти ещё проще. совместим точку h с началом координат. тогда получим, что координаты точки h(0; 0), а точки c(0; 10). найдём длину отрезка ch: его длина равна 10(можно по предыдущей формуле, а можно догадаться, что разница между координатами этих точек равна 10)

Решить систему линейных уравнений методом подстановки и методом сложения:

{

y

+

2

x

=

1

y

−

x

=

3

Решение методом подстановки.

{

y

+

2

x

=

1

y

−

x

=

3

⇒

{

y

=

−

2

x

+

1

y

−

x

=

3

⇒

{

y

=

−

2

x

+

1

(

−

2

x

+

1

)

−

x

=

3

⇒

{

y

=

−

2

x

+

1

−

3

x

−

2

=

0

⇒

{

y

=

−

2

x

+

1

x

=

−

2

3

⇒

{

y

=

7

3

x

=

−

2

3

y

=

2

1

3

;

x

=

−

2

3

Решение методом сложения.

{

y

+

2

x

=

1

y

−

x

=

3

Вычитаем уравнения:

−

{

y

+

2

x

=

1

y

−

x

=

3

(

y

+

2

x

)

−

(

y

−

x

)

=

1

−

3

3

x

=

−

2

x

=

−

2

3

Подставиим найденную переменную в первое уравнение:

(

−

2

3

)

+

2

x

=

1

y

=

7

3

y

=

2

1

3

;

x

=

−

2

3

Объяснение: