Докажите что числа 4n+1 и 5n+1 взаимно простые

Предположим, что они не взаимно простые. тогда есть число k, на которое делятся оба числа: 4n+1=ak; 5n+1=bk (a, b, k - целые). домножим первое уравнение на 5/4 и вычтем из него второе, получится: 1/4 = 5/4ak - bk; 1 = k(5a-4b). отсюда k может быть только ±1, т.е. числа взаимно простые.  

В решении.

Объяснение:

Решить систему неравенств:

8 + 3х < 14

-5 < 2 - x <= 1

Первое неравенство:

3х < 14 - 8

3x < 6

x < 6/3

x < 2;

Решения неравенства: х∈(-∞; 2).

Неравенство строгое, скобки круглые.

Второе (двойное) неравенство:

Двойные неравенства обычно решаются системой неравенств, но существует более быстрый .

Нужно так преобразовать неравенство, чтобы в центре остался х.

-5 < 2 - x <= 1

1) Вычесть их всех частей неравенства 2:

-5 - 2 < 2 - 2 - x <= 1 - 2

-7 < -x <= -1

2) Разделить все части неравенства на -1:

7 > x >= 1 все знаки меняются на противоположные;

Решения неравенства: х∈[1; 7).

Одна часть неравенства нестрогая, скобка квадратная.

Решения системы неравенств: х∈[1; 2), пересечение.

Схема:

-∞127+∞

                             

Двойная штриховка - пересечение: х∈[1; 2).

Кружок у х = 1 закрашенный.

н1:

Будем решать методом сложения. Чтобы решить систему таким методом, нам нужно иметь 2 одинаковые переменные с разными знаками. Например,   {5x-3y=14;    2x+y=10}. Чтобы решить данную систему нам нужно второе уравнение умножить на 3. Получится:
{5x-3y=14; 6x+3y=30}. Теперь этих два уравнение слаживаем.
Получится: 11x=44
x=44:11
x=4  
Мы получили x, теперь чтобы получить y нам нужно значение x подставить в первое или второе уравнение.    Я буду поставлять в первое
5*4-3y=14
20-3y=14
3y=20-14
3y=6
y=2     ответ: (4;2)

n3
Упрощаем:
4x-4y=-2    

3x+2y=5-2x+2y

Теперь во втором уравнении иксы переносим к иксам, игрики в игрикам
3x+2x+2y-2y=-5
5x=-5
x=-1
Теперь берем первое уравнение: 4x-4y=-2     и подставляем x сюда.
-4-4y=-2
4y=-4+2

4y=-2
y=-2       ответ: (-1;-2)