Докажите, что если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм-ромб.

Пусть abcd  – данный параллелограмм,  ac  и  bd  – его диагонали и (ac)    (bd). пусть  o  – точка пересечения диагоналей параллелограмма. треугольник  abc  – равнобедренный с основанием  ac. действительно, так как диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам, то  ao  =  oc, и тогда  bo  – медиана треугольника  abc, проведенная к стороне  ac. но по условию (bo)    (ac) и [bo] – высота треугольника  abc. тогда  abc  – равнобедренный треугольник с основанием  ac. отсюда –  ab  =  bc. по свойству равенства противоположных сторон параллелограмма следует, что  ab  =  bc  =  cd  =  ad. таким образом, данный параллелограмм – ромб. теорема доказана.

Об'єм= 1/3 *висоту піраміди* площу основи піраміди а) площа основи= сторона в квадраті сторона=2*(висота піраміди/tg альфа) отже об'єм=(4*h в кубі)/(3*tg квадрат альфа) б) площа основи = висота основи *половину сторони висота основи=3*(висота піраміди/tg альфа) (точка перетину медіан, а в рівностороннього трикутнику висот, ділить її як 2: 1, тому 3* висота піраміди/tg альфа -це радіус вписаного в трикутник кола сторона трикутника= 2*(висота піраміди/tg альфа)*√3 отже об'єм= (3*h*h*h*√3)/(3*tg a*tg a)=(h в кубі *√3)/tg квадрат альфа)

Объем пирамиды находят по формуле v=1/3·s(осн)·h 1) в основании параллелограмм. его площадь найдем по формуле: s=a·b·sin∠  c

s=5·12·sin(150°)=60·sin30°=60·0,5=30 (см²)

v=1/3×30×18=180 (см³)

    ответ: 180 см³ 

2) в основании треугольник со сторонами 4, 51 и 53 см. площадь найдем по формуле герона:

s= √(p(p-a)(p-b)(p-  p- полупериметр

p=1/2(4+51+53)=1/2·108=54

s=  √(54×50×3×1)=90(см²)

v=1/3×90×18=540(см³)

  ответ: 540 см³

 

3) в основании прямоугольник с диагональю 15 дм и отношением сторон 3: 4.

обозначим коэффициент пропорциональности через х. тогда стороны прямоугольника будут равны 3х и 4х. применим теорему пифагора:

(3x)²+(4x)²=225

25x²=225

x²=9

x=3  ⇒ 3x=9(дм),  4x=12 (дм)

s=9×12=108 (дм²)

h=18 см=1,8 дм

v=1/3×108×1,8=64,8 (дм³)

ответ:   64,8 дм³ = 6480 см³