Периметр ромба равен 8 см, а длина перпендикуляра, опущенного из вершины тупого угла на противоположную сторону, равно 1 м. вычислить углы ромба.

Наверное, длина перпендикуляра 1см.  прежде всего для ясности обозначим ромб авсд.  высоту обозначим ан.  рассмотрим тр-к авн. он прямоугольный. сторона ав=1/4*р=8/4=2(см). в рассматриваемом прямоугольном тр-ке ав=2см является гипотенузой, а вн=1см является катетом. наш катет равен половине гипотенузы, значит он лежит против угла в 30о. угол д=углув=30о.  односторонние углы в ромбе равны в сумме 180о. значит угол а=углу с=180о-30о=150о.

Пусть а=12, b=21, c,d - 2 другие стороны.  тогда c+d=p-(a+b)=70-12-21=37 так как в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы противоположных сторон этого четырёхугольника равны: а+c=b+d, отсюда c-d=b-a=21-12=9 тогда получается следующая  система уравнений: c-d=9; c+d=37; из первого уравнения выражаем c=9+d и подставляем во второе уравнение: c+d=37; 9+d+d=37; 9+2d=37; 2d=28, d=14. тогда оставшаяся сторона найдётся из вот этого уравнения: c+d=37; c+14=37, c=23 ну и вот, большая из оставшихся сторон - это сторона с=23.  ответ: 23. 

Теорема: если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны  пусть при пересечении прямых а и b секущей ав накрест лежащие углы равны. например, ∠ 4 = ∠ 6. докажем, что а || b.предположим, что прямые а и b не параллельны. тогда они пересекаются в некоторой точке м и, следовательно, один из углов 4 или 6 будет внешним углом треугольника авм. пусть для определенности ∠ 4 — внешний угол треугольника авм, а ∠ 6 — внутренний. из теоремы о внешнем угле треугольника следует, что ∠ 4 больше ∠ 6, а это противоречит условию, значит, прямые а и 6 не могут пересекаться, поэтому они параллельны.