Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла равна 17 см. какую длину не может иметь гипотенуза этого треугольника

Пусть  катеты , и  гипотенуза то высота равна    по теореме пифагора  подставляя первое во второе   подставим   то есть гипотенуза не может быть меньше  34 

1. рассмотрим  равенство углов. ∠ авм =  ∠  свм - (по определению биссектрисы угла) ∠ амв =  ∠ свм - (как внутренние разносторонние) отсюда следует, что  ∠ авм =  ∠ амв 2. рассмотрим  δ авм. так как у него два угла равны, он является равнобедренным - (по теореме о признаках равнобедренного треугольника). 3. ам = ав = 3 см - (по определению равнобедренного треугольника) 4. аd = 2 ам = 2·3 = 6 (см) - (по условию , точка м - середина аd) 5. р = 2(ав + аd) = 2(3+6) = 18 (см) ответ. 18 см.

трапеция - четырехугольник.  в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны. 

  сумма длин боковых сторон данной трапеции равна сумме оснований и равна ее полупериметру. 

вс+ад=ав+сд=120: 2=60

площадь трапеции равна произведению ее высоты на полусумму оснований ( среднюю линию)

средняя линия равна (ад+вс): 2=30

вн и ск - высоты трапеции. 

высоту вн трапеции найдем, разделив площадь на полусумму оснований 

вн= 540*30=18

трапеция равнобедренная  ⇒  ан=кд

из прямоугольного треугольника авн найдем ан:

ан=√(30²-18²)=24

вс+нк+ан+кд=60

вс=нк; ан=дк

2 вс+2*24=60

2 вс=12

вс=6

треугольники, образованные диагоналями и основаниями, подобны. 

сумма их высот равна высоте трапеции =18 

пусть высота меньшего х, высота большего - 18-х

тогда вс: ад=х: (18-х)

6: (6+48)=х: (18-х) 

решив пропорцию, получим высоту меньшего треугольника 1,8. 

это и есть искомое расстояние.