Две стороны основания прямой треугольной призмы равны 7см и 4 см. угол между ними - 30 градусов вычислите объем призмы если сумма площадей боковых граней содержащих данные стороны равна 110 см^2

Призмаавса1в1с1, в основании треугольник авс, ав=7, вс=4, уголв=30, аа1=вв1=сс1-высота призмы, площадь аа1в1в+площадьсс1в1в=110, площадьаа1в1в1=х, площадьсс1в1в=110-х, х=ав*аа1=7аа1, аа1=х/7,  площадьсс1в1в=св*в1в=4вв1, 110-х=4вв1, вв1=110-х/4, х/7=110-х/4, 4х=770-7х, х=70=площадь аа1в1в, 110-70=40-площадьсс1в1в, аа1=вв1=сс1=70/7=10, площадь авс=1/2ав*вс*sin30=1/2*7*4*1/2=28/4=7, объем=площадьавс*аа1=7*10=70

пирамида sabcd. апофема sh - высота треугольника sab. o - точка пересечения диагоналей основания, so - высота пирамиды. 

1) рассмотрим прямоугольный треугольник ohs. по теореме пифагора:

oh² = sh² - so²

oh² = 4a² - 3a²

oh = a

по теореме фалеса: bc = 2oh = 2a

сторона основания  2a

2) sho - линейный угол двугранного угла sabo. найдя его, найдем и sabo, следовательно угол между боковой гранью и основанием. 

из прямоугольного треугольника sho:

sin< sho = so/sh

sin< sho = a√3/2a =  √3/2

< sho = 60°

угол между боковой гранью и основанием 60°

3) s = sбок + sосн

в основании квадрат, значит sосн = ab² = (2a)² = 4a²

sбок = pосн*sh/2

pосн = 4*2a = 8a

sбок = 8a*2a/2 = 8a²

s = 8a² + 4a² = 12a²

площадь 12а²

4) из точки о (это и есть центр основания) проводим перпендикуляр к апофеме sh, обозначаем h1. sh1 - расстояние от центра основания до плоскости боковой грани. 

из прямоугольного треугольника oh1h:

sin< sho = oh1/oh

но sin< sho =  √3/2

√3/2 = oh1/a

oh1 = a√3/2

ответы: a;   60°;   12а²;   a√3/2

дан треугольник авс, следовательно ав=вс=15 см, ас=18см.

r-радиус описанной окружности, r- радиус вписанной окружности.

bk - высота.

s- площадь треугольника авс.

р-периметр треугольника авс.

решение: s=(ac*bc*ab)/4r. s=1/2*p*r. s=1/2bk*ac.

рассматриваем треугольник вкс как прямоугольный, для решения используем теорему пифагора:

вс^2=bk^2+kc^2. кc=1/2ac

bk^2=bc^2-kc^2=225-81=144

bk=12 см.

s=1/2bk*ac=1/2*12*18=108 см.

r=(ac*bc*ab)/(4*s)=(15*15*18)/(4*108)=75/8 см.

r=2*s/р=2*s/(ас+вс+ав)=2*108/(15+15+18)=9/2 см.