Ввыпуклом четырёхугольнике abcd ав=9 см, вс=8 см, cd=16 см, ad=6 см, bd=12 см. докажите, что abcd – трапеция диагонали ромба abcd пересекаются в точке о, bd=16 см. на стороне ав взята точка к так, что окперендекулярнаав и ок=4√3 . найдите сторону ромба и вторую диагональ.

Надо доказать, что расстояния от точки в до стороны cd и расстояние от точки d до стороны ав равны, тогда ав и сd параллельны. либо расстояния от в до аd и от d до ас равны. тогда вс и аd параллельны. применяем теорему пифагора. вводи неизвестное. одна часть стороны вс  обозначена за х, оставшаяся 8-х. найдем высоту и приравняем равенства. 16 в квадрате минус х в квадрате, равно 12 в квадрате минус (8-х) в квадрате . из уравнения найдем х, потом высоту. и так проделать несколько раз.

ответ: ∠ВАС = ∠ВСА = 30 ° ;  ∠АВС = 120° .

Условия задачи:

Δ АВС - равнобедренный , следовательно:

Боковые стороны равны ⇒  АВ=ВС = 14,2 см  

Углы при основании равны :

АС  - основание  ⇒ ∠BAC (∠BAD) = ∠BCA (∠BCD) 

BD =7,1 см   - высота к основанию АС ⇒  является медианой и биссектрисой : 

∠BDA = ∠BDC = 90° ( т.к. BD - высота)

AD = DC = АС/2   (т. к. BD - медиана)

∠ABD = ∠CBD  (т. к. BD - биссектриса)

ΔBDA  =  ΔBDC   - прямоугольные треугольники 

Решение.

1) ΔBAD  

По условию катет BD = 7,1 см ,  гипотенуза АВ = 14,2 см , следовательно :

BD = 1/2  * AB  =  1/2  * 14,2 = 7,1 см 

Если катет равен  половине гипотенузы, то угол лежащий против  этого катета равен 30°  ⇒∠DAB (∠ BAC) = 30°

Проверим по определению синуса:

sin A  = 7/14 = 1/2     ⇒ ∠BAC (∠BAD ) = ∠BCA (∠BCD) = 30°

2) ΔАВС :

Сумма  углов  любого треугольника  = 180°

∠АВС = 180°  - (∠ВАС + ∠ВСА)

∠АВС  =  180  -  2*30  = 120 °

Обозначим вершины трапеции авсd. опустим из вершин в и с высоты на аd вн=ск из прямоугольного треугольника авн по т.пифагора выразим высоту вн вн²=ав²-ан²из прямоугольного треугольника скд выразим высоту ск ск²=сd²-кd²пусть кd=х тогда ан=(25-4-х)=21-х из равенства вн и ск составим уравнение: ав²-ан²=сd²-кd² 400-(21-х)²=169-х²получим  42х=210 х=5 см высоту найдем из треугольника скd ск=√(169-25)=12 см площадь трапеции равна   половине произведения её высоты на сумму оснований.  s (abcd)=12*29: 2=174 см²