Докажите, что отрезки общих внутренних касательных к двум окружностям одинакового радиуса в точке пересечения делятся пополам.

Чтобы доказать  утверждение, достаточно доказать, что линия центров делит внутреннюю касательную пополам (тогда она и вторую делит пополам : если соединить центры окружностей и провести радиусы в точки касания внутренней касательной, то мы получим 2 прямоугольных треугольника с равными углами и катетами-радиусами, которые равны по условию. этого достаточно,чтобы утверждать равенство треугольников. откуда и следует, что линия центров делит внутреннюю касательную пополам. значит, она и вторую делит пополам, значит - внутренние касательные пересекаются в своих серединах.  

Построение. проводим прямую "а". от прямой "а" откладываем данный нам угол, для чего берем произвольную точку а на этой прямой и от нее строим угол, равный данному. для этого произвольным раствором циркуля проводим окружности с центрами в вершине а данного нам угла и в точке а на прямой "а". на данном нам угле получаем точки "m" и "n", а на прямой "а" - точку м. радиусом r=mn с центром в точке м проводим окружность и в месте пересечения двух окружностей ставим точку n. проведя прямую an получаем вторую сторону данного нам угла. на этих сторонах откладываем циркулем отрезки ас и ав, равные данному отрезку "а" и четырем отрезкам "а" соответственно. соединив точки в и с, получаем искомый треугольник авс.

Если точки f и g лежат на стороне ad, то решение: площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, опущенную к этому основанию. опустим на сторону ad высоту h из угла в. sabcd=h*ad. площадь треугольника gbf равна половине произведения основания на высоту, опущенную  на это основание. поскольку высота, опущенная из вершины в на основание ad и высота треугольника gbf одна и та же, имеем: sgbf=(1/2)*h*fg. ad=16, fg=4. тогда sabcd/sgbf=h*16/[(h/2)*4]=8. ответ: отношение площадей равно 8: 1.