Найдите радиус вписанной окружности в ромб со сторонами 8 см и углом 120 градусов.

Половина меньшей диагонали = 4; половина большей диагонали = 4  корня из 3; площадь  треугольника = 8 корней из 3; а также площадь этого же треугольника = половине произведения  радиуса на сторону ромба; следовательно r=8 корней из 3 умножить на 2 и поделить на сторону ромба = 2 корня из 3.

Треугольники aod и boc подобны по свойству трапеции. площади подобных треугольников относятся, как квадраты коэффициента их подобия 25: 16=k² k=√(25: 16)=5: 4 следовательно, основания трапеции относятся, как 5: 4 обозначим высоту ᐃ вос=h₁ высоту ᐃ аоd=h₂ s аоd=h₂·аd: 2 s вос=h₁·вс: 2 площадь трапеции равна произведению ее высоты на полусумму оснований: высота трапеции н s abcd=н·(аd+вс): 2 н=h₂+h₁ s abcd =(h₁+h₂)·(аd+вс): 2= =h₁·аd+h₂·аd+h1·вс+h₂·вс 1) применим свойство пропорции: произведение средних членов пропорции равно произведению крайних. h₂: h₁=5: 4 4h₂=5h₁ h₂=5h₁/4 s aod=h₂·аd: 2=5h₁/4·аd: 2 25=5h₁/4·аd: 2 умножим на два обе части уравнения 12,5=5h₁/4·аd 5h₁/4 =12,5: ad h₁: 4=2,5: ad h₁·ad= 4·2,5 =10 см² т.к. площади боковых треугольников у трапеции равны равны, то h₂·вс=10 см² это: 2) h₂: h₁=5: 4 5h₁=4h₂ h₁=4h₂/5 s вос=h₁·вс: 2=4h₂/5·вс: 2 16=4h₂/5·вс: 2 умножим на два обе части уравнения 8=4h₂/5·вс 4h₂: 5=8: вс 4h₂·вс=8·5=40 h₂·вс=40: 4=10 см² 3) подставим значения h₂·вс и h₁·ad в уравнение площади трапеции s abcd=h₁·аd+25+16+h₂вс=41+=h₁·аd+h₂·вс = s abcd=10+25+16+10= 61 см

1) найдем сторону ас. т.к. треугольник равнобедр., то медиана является и высотой. рассмотрим треугольник анв. ав-5, вн-4, отсюда по т.пифагора ан-3, ан=нс=3, т.к.вн медиана, значит ас=3+3=6 2) т.к s=108, мр=18, то высота кl=12, мl=lp=18: 2=9. рассмотрим треугольник мкl, он прямоуг, мl=9, kl=12, отсюда по т.пифагора mk=15., мк=кр=15 3) коэф. подобия =15: 5=3, составим пропорцианал., mp/ac, mk/ab, kp/bc, 18/6=3, 15/5=3, 15/5=3, все стороны пропорциональны, значит треугольники подобны по 3 признаку подобия