Втрапеции abcd меньшая диагональ bd, равная 5, перпендикулярна основаниям ad и bc, сумма острых углов a и c равна 90 градусов. найдите длину меньшего основания трапеции, если большая диагональ равна 13

Опустим  перпендикуляр из с  на ад, продолжив ад за точку д;   значит сн=5. из прямоугольного треугольника асн найдём ан  по теореме пифагора,  ан=12. т.к.  угола  + угол с равно 90 град., то тангенс а равен котангенсу с, получаем: вд относится  к ад, также как вс относится к  вд, тогда вд квадрат равен ад *вс.  вс обозначим за х, тогда ад= 12-х. получили квадратное уравнение х квадрат  -12х+25=0.      х равен 6-корень  из 11. 6+корень  из 11 не подойдёт, т.к. надо длину меньшего основания, а 12 -(6+корень из 11) получится меньше, чем 12 -(6- корень  из  11).  ответ: 6 - корень из 11.

Замечательные точки треугольника   — точки, местоположение которых однозначно определяется треугольником и не зависит от того, в каком порядке .1- делит угол пополам, выходит из вершины тр.биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон.   2-  серединным перпендикуляром к отрезку   называется прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная к немусвойство_  каждая точка  серединного перпендикуляра к отрезку   равноудалена от концов этого отрезка.

Длины диагоналей параллелограмма равны 6 и 8 см, а угол между ними - 60 °. Найдите длины сторон параллелограмма.

Дано :  параллелограмма ABCD (AB || DC  ;  AD || BC )

            AC = 6 см  ;  BD = 8 см  ; α= ∠AOB = 60° .

          - - - - - - - - - - - - - -

AB = DC -?   AD =BC -?

ответ:  √13 см  и √37 см .

Объяснение:  Из  Δ  AOB по теореме косинусов :

AB² =OA²+OB² - 2*OA*OB*cosα

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам

OA =OC =AC/2 = 6 см /2 = 3 см  ; OB = OD = BD/2 = 8/2 см = 4 см

AB² =3²+4² - 2*3*4*cos60° =25 -2*3*4*1/2 = 13 (см) ;

AB = √13 см ;

* * *  Известно  AC²+ BD² =2(AB² +AD²)    ⇒ AD = √37 см * * *

Аналогично из  Δ  AOD  :

AD² =OA²+OD² - 2*OA*OD*cos(180° -α )

AD² =3²+4² + 2*3*4*1/2 =25 +2*3*4*1/2 =37 (см) ;

AD =√37 см .              * * * !  6²+8² =2( (√13)²+(√37)² )