Внутри треугольника abc выбрана точка м. как построить отрезок с концами на сторонах треугольника авс так, чтобы точка м была его серединой?

Немного другая : ). внутри угла c вершиной в точке a  выбрана точка m, надо построить отрезок с концами на сторонах угла, так, чтобы точка m была бы его серединой. отличие этой в том, что 1) концы отрезка могут быть на продолжении сторон 2) у треугольника три угла. я отвечаю на поставленный вопрос. то есть описываю процесс построения. все действия легко осуществляются с циркуля и линейки. 1) проводится биссектриса угла. 2) из точки m проводится перпендикуляр к биссектрисе. он пересекает стороны угла в точках k и n. 3) из точек k и n проводятся перпендикуляры к сторонам угла, которые пересекаются на биссектрисе угла в точке o (это центр окружности, которая касается сторон угла в точках k и  n)  4) соединяются точки o и  m. 5) через точку m проводится прямая, перпендикулярная отрезку om, пересекающая стороны угла в точках p и  q. pq и есть нужный отрезок, точка m является его серединой. доказывается это так.  ∠pko =  ∠pmo = 90 °;   поэтому точки k и  m лежат на окружности, построенной на po, как на диаметре.  в этой окружности  ∠mpo и  ∠mko опираются на одну и ту же дугу, то есть равны. аналогично,  ∠qmo =  ∠qno = 90°;   поэтому точки n и  m лежат на окружности, построенной на qo, как на диаметре.  в этой окружности  ∠mqo и  ∠mno опираются на одну и ту же дугу, то есть равны. так как треугольник okn равнобедренный,  ∠mko =  ∠mno; поэтому  ∠mpo =  ∠mqo, и треугольник pqo тоже равнобедренный.  om - высота к основанию этого треугольника pqo. то есть, его медиана. чтд.

Только около равнобедренной трапеции можно описать окружность, поскольку сумма противолежащих углов четырехугольника 180°   – обязательное условие для этого. у трапеции авсд, описанной около окружности, сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон.если дано  ав + cd + ef = 18, то  ав + cd = 2ef.отсюда вывод:   2ef+ef = 18,   3ef = 18,   ef = 18/3 = 6. если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то боковая сторона равна средней линии трапеции. то  есть периметр такой трапеции равен 4 средним линиям: р = 4ef = 4*6 = 24. 

Итак, поехали. см. рисунок. там сделали допостроения и обозначения. св=х ас=х-7 по т. пифагора  (х-7)²+х²=13² отсюда х=12 (отрицательное значение ж не подходит) х-7=5 катеты будут 5 и 12.напишем их зеленым на рисунке, чтоб удобнее было. а теперь самое интересное. центр опис.окр. лежит на серединных перпендикулярах. что и обозначено. т.е. см=12/2=6 дальше, ∠сок - центральный для ∠свк, значит он = 2α, тогда угол сон в 2 раза меньше ( треугольник сок равнобедр. с высотой он) и равен α. обозначим зеленым. тогда ∠осм=90-α-45=45-α теперь из δ осм имеем  r=cm/cos(45-α) r=6/cos(45-α) подставляя формулу косинуса разности получаем cos(45-α)=cos45cosα+sin45sinα=√2/2(cosα+sinα) но из первоначального треугольника, когда нашли его катеты, имеем cosα=12/13 sinα=5/13 a  cosα+sinα=12/13+5/13=17/13 cos(45-α)=17√2/26 и r=6/(17√2/26)=78√2/17 вроде так.