Доказать, что середины сторон треугольника, основания высот и середины отрезков, соединяющих точку н пересечения высот с вершинами треугольника, лежат на одной окружности, причем центр р круга с серединой он, где о - центр окружности, описанной вокруг заданного треугольника авс.

Пусть  a1,b1  и  c1- середины сторон  bc,ca  и  ab;   a2,b2  и  c2- основания высот;   a3,b3  и  c3- середины отрезков, соединяющих точку пересечения высот с вершинами. так как  a2c1  =  c1a  =  a1b1  и  a1a2||b1c1, точка  a2  лежит на описанной окружности треугольника  a1b1c1.  аналогично точки  b2  и  c2  лежат на описанной окружности треугольника  a1b1c1.рассмотрим теперь окружность  s   с диаметром  a1a3. так как  a1b3||cc2   и  a3b3||ab, то  < a1b3a3  =  90°, а значит, точка  b3   лежит на окружности  s. аналогично доказывается, что точки  c1,b1   и  c3   лежат на окружности  s. окружность  s   проходит через вершины треугольника  a1b1c1, поэтому она является его описанной окружностью. при гомотетии с центром  h  и коэффициентом  1/2 описанная окружность треугольника  abc  переходит в описанную окружность треугольника  a3b3c3, т.  е. в окружность девяти точек. значит, при этой гомотетии точка  o  переходит в центр окружности девяти точек.

Пусть а₁, в₁,с₁ — средины сторон вс, ас и ав; a₂, b₂, c₂ — основы высот; a₃, b₃, c₃ — средины отрезков ah,bh,ch. поскольку  ∠aa₂b =90°, то ас₁ = с₁а₂, как радиусы круга, описанной вокруг ава₂. следовательно с₁а₂ = а₁в₁. кроме того, а₁а₂ || в₁с₁. поэтому с₁а₂а₁в₁ - равносторонняя трапеция и точка а₂ лежит на окружности, описанном вокруг треугольника a₁b₁c₁.рассмотрим теперь круг с диаметром а₁а₃. поскольку а₁в₃ || сс₂, a₃b₃ || ab, то  ∠a₃b₃a₁=90°, следовательно точка в₃ лежит на окружности. поэтому точка а₁ лежит на окружности, описанном вокруг треугольника а₃в₃с₃. аналогично доводим что точки b₁ и с₁, c₃,b₂,c₂лежат на окружности.  следовательно, все 9 отмеченых точек находятся на данном круге. поскольку при гомотетии   с центром н и коэффициентом 1/2 треугольник авс переходит в треугольник а₃в₃с₃, то и центр о круга, описанной вокруг треугольника авс, перейдёт в центр р круга, описанной вокруг треугольника а₃в₃с₃. поэтому р - средина отрезка он. что и требовалось доказать.

По теореме о двух пересекающихся хордах произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой, пересекающейся с ней. пусть коэффициент отношения се: de=x тогда ае*ве=3х*4х 12х² =108 х=3см cd=3x+4x=7х=7*3=21 см наименьшим значением радиуса данной окружности будет половина большей из данных хорд при условии, что она - диаметр ( меньшая хорда по понятной причине не может быть диаметром). следовательно, при диаметре ав радиус r=(36+3): 2=39: 2=19,5 если диаметр больше хорды ав, то радиус не будет иметь наименьшее из возможных значений.

Если гипотенуза и острый угол одного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны. чтобы доказать эту теорему, построим два прямоугольных гольника abc и а'в'с', у которых углы а и а' равны, гипотенузы ав и а'в' также равны, а углы с и с' — прямые наложим треугольник а'в'с' на треугольник abc так, чтобы вершина а' совпала с вершиной а, гипотенуза а'в' — с равной гипотенузой ав. тогда вследствие равенства углов a и а' катет а'с' пойдёт по катету ас; катет в'с' совместится с катетом вс: оба они перпендикуляры, проведённые к одной прямой ас из одной точки в (§ 26,следствие 3). значит, вершины с и с' совместятся. треугольник abc совместился с треугольником а'в'с'. следовательно, /\ авс = /\ а'в'с'.эта теорема даёт 3-й признак равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и острому углу).