Биссектриса угла а, параллелограмма авсd, пересекает сторону вс в точке р. найдите длину отрезка рс, если ав = 5, а периметр параллелограмма равен 40. ( с рисунком, дано )

угол с – угол между векторами ас и вс.

1) найдем координаты векторов ас и вс.

чтобы найти координаты вектора, нужно найти разность соответствующих координат точки конца вектора и начала.

найдем координаты вектора ас:

ас (хс  – ха; ус  – уа);

ас (4 – 1; 5 – 1);

ас (3; 4).

найдем координаты вектора вс:

вс (хс  – хв; ус  – ув);

вс (4 – 4; 5 – 1);

вс (0; 4).

2) скалярное произведение векторов:

ас * вс = 3 * 0 + 4 * 4 = 0 + 16 = 16.

3) найдем длины векторов ас и вс.

квадрат длины вектора равен сумме квадратов его координат.

найдем длину вектора ас:

|ас|2  = 32  + 42  = 9 + 16 = 25;

|ас| = 5.

найдем длину вектора вс:

|вс|2  = 02  + 42  = 16;

|вс| = 4.

4) найдем косинус угла между векторами:

cos с = ас * вс / (|ас| *|вс|) = 16 / (5 * 4) = 4/5 = 0,8.

ответ: 0.8

  достаточно доказать, что  rptq  – равнобокая трапеция. четырёхугольник  ardq  – вписанный, поэтому   ∠rqd  = ∠dar.  также, поскольку четырёхугольник  abcd    – вписанный, то   ∠bcd  = 180° – ∠dar.  cледовательно,   ∠rqd  + ∠bcd  = 180°,  то есть прямые  pt  и  rq  параллельны.

  докажем теперь, что в трапеции  rptq  диагонали равны. четырёхугольник  apcq  вписан в окружность с диаметром  ac, поэтому  pq = ac·sin∠bcd.  aналогично,   rt = bd·sin∠abc.  но из вписанности четырёхугольника  abcd  следует, что      значит,   pq = rt,  то есть трапеция – равнобокая.