(с рисунками желательно, и полным решением) 1.найдите площадь полной поверхности конуса, если его высота равна н, а угол между образующей и высотой равен а. 2.найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в правильную треугольную призму, сторона основания которой равна а, а высота -h. 3.найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в правильную шести угольную призму, сторона основания которой равна а, а боковое ребро h.

1)sпол=πr(r+l) r=h*tga l=√r²+h²=√(h²tg²a+h²)=√h²(1+tg²a)=√h²/cos²a=h/cosa s=πhtga(htga+h/cosa)=πh²tga(tga+1/cosa) 2)sбок=2πrh r=a√3/3 s=2πah√3/3 3)sбок=2πrh r=a s=2πah

Чтобы не путаться, сразу обозначим трапецию как abcd с высотой см. вс=5(меньшее основание), ad=11(большее основание) для наглядности, проведем еще одну высоту(bn). по определению высоты, см и bm, образуют с ad прямые углы. не сложно догадаться, что получившийся четырехугольник (mnbc) является прямоугольником. тогда nm=5(по св-ву параллелогр.) найдем кусочки an и md: (11-5) : 2 = 3 рассмотрим δcmd. угол с=30(по а md=3 ⇒ сd=6(по св-ву угла в 30 градусов в прямоугольном δ(кат. леж. против него равен половине гипп)) периметр: 12+11+5=28

задана пирамида abcd a(1; 1; 1) b(4; 1; -1) c(0; 5; 2) и d(-2; 0; 6).  

найти:  

а)высоту ah.  

определяем координаты векторов из вершины а.

→ад = (-2-1)=-3; 0-1=-1; 6-1=5) = (-3; -1; 5).

→ав = (4-1=3; 1-1=0; -1-1=-2) = (3; 0; -2).

→ас = (0-1=-1; 5-1=4; 2-1=1) = (-1; 4; 1).

произведение векторов  

a × b = {aybz - azby; azbx - axbz; axby - aybx}  

(→ ав)х(→ас) = (0 - (-8) = 8; 2 - 3 = -1; 12 - 0 = 12) = (8; -1; 12).

объем пирамиды равен: v = (1/6)*((→ ав)х(→ас))*(→ ад), →ад = (-3; -1; 5).

v = (1/6)*((8*(-3) + (-1)*(-1) + 12*5) = (1/6)*(-24 + 1 + 60) = 37/6.

определяем векторы из вершины в.

→вс = (-4; 4; 3), →вд = (-6; -1) 7).

их векторное произведение равно:

(→вс)х(→вд) = 28 + 3 = 31; -18 + 28 = 10; 4 + 24 = 28) = (31; 10; 28).

площадь треугольника всд равна:

s(всд) = (1/2)*|(→вс)х(→вд)| = (1/2)√(31² + 10² + 28²) = (1/2)√1845 = = 3√205/2.

отсюда находим длину высоты из вершины а на грань всд:

ан = 3v/s(всд) = (3*37/6)/(3√205/2) = 37√205/615 ≈ 21,47673.

б)расстояние между прямыми, содержащими ребра ac и bd.  

определяем векторы: →ас = (-1; 4; 1) и →вд = (-6; -1; 7) (ранее найдены).

|ас|x|вд|   =  

расстояние между ними находим из выражения:

x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1

l1 m1 n1

l2 m2 n2  

d =

|ас|x|вд|

подставим значения:

1 - точка а 2 - точка в расстояние d между скрещивающ.прямыми    

x1 x2 y1 y2 z1 z2

1 4 1 1 1 -1

3   0   -2  

     

х2 - х1 3 0 -2 3 0 опре-

вектор ас -1 4 1 -1 4 дели-

вектор вд -6 -1 7 -6 -1 тель

определитель      

82   модуль aсхвd = 38,301436

-45 = 37   расстояние d = 0,966021222  

определитель равен: 82 – 45 = 37.

модуль acхвd = 38,30144 , d = 37/38,30144 = 0,966021.

ответ: расстояние d = 0,966021.  

в)угол α между прямой ah и плоскостью abc.

этот угол можно определить так: α = 90 – β, где угол β – угол между гранями авс и всд.

угол β равен углу между нормалями к плоскостям указанных граней.

координаты нормали определяются векторным произведением.

нормаль abc 8 -1 12       модуль √(64+1+144) = √209 ≈ 14,45683.

нормаль   bcd 31 10 28       модуль √(961+100+784) = √1845 = 3√205 ≈ 42,9535.

косинус угла β равен:  

cos β = (8*31+(-1)*10+12*28)/( √209*3√205) = 574/(3√42875) ≈ 0,924359.

угол   β равен 0,391445 радиан или 22,42814 градуса.

отсюда ответ: угол между ан и плоскостью авс равен 90 - 22,42814 = 67,57186 градуса.