Длины сторон треугольника составляют арифметическую прогрессию , один из углов равен 120° . найти отношение длин сторон этого треугольника .

Если стороны образуют арифметическую прогрессию, то их длины: c b=c+d a=b+d=c+2d угол в 120° является наибольшим. поэтому напротив него лежит наибольшая сторона. воспользуемся теоремой косинусов: a²=b²+c²-2bc cos120° (c+2d)²=(c+d)²+c²-2(c+d)c*(-0.5) c²+4cd+4d²=c²+2cd+d²+c²+c²+cd 4cd+4d²=3cd+d²+2c² 3d²+cd-2c²=0 решаем получившееся квадратное уравнение относительно d: d=c²-4*3(-2c²)=c²+24c²=25c² √d=5c d=(-c+5c)/(2*3)=2c/3 (отрицательные значения корня не рассматриваем, исходя из смысла) следовательно, длины сторон: с b=c+2c/3=5c/3 a=c+2*2c/3=7c/3 тогда искомое отношение сторон с: b: a=c: 5c/3: 7c/3=3: 5: 7 ответ: 3: 5: 7

Сделаем построение по условиюцентры окружностей o и о1 -симметричны относительно стороны асзначит (оо1) перпендикулярна (ас)треугольник авс - равнобедренный |ab| = |bc| -иначе не будет выполняться условие симметричности центров окружностейобозначим < bac=< bca=< a - это вписанные углы  по теореме о вписанном угле - они опирается на дуги, которые в два раза больше их. дуга ˘вс=˘aв=2aпроведем прямые (ao1) и (ao)точки их пересечения с описанной окружностью т.с1 и т.с2треугольник оао1 - равнобедренный , прямая (ac) - биссектриса < c1ac2значит   < c1ac=< c2ac=< a/2 - это вписанные углы  по теореме о вписанном угле - они опирается на дуги, которые в два раза больше их. дуга ˘сс1=˘сс2=a прямая (ас2)  проходит через центр описанной окружности |ac2| - диаметр угол < aoc2 - центральный , развернутый (180 град) -опирается на дугу ˘ас2=180 град. дуга ˘ас2 состоит из частей  ˘ас2=˘aв+˘вс+˘сс2=2a+2a+a=5a=180 , тогда а=180/5=36 град. < a=< c=< a=36  град < b=180-< a-< c=180-2*36=108 град ответ углы треугольника 36; 36; 108

0так и хочется спросить, а каких расстояний? не поверите, сейчас научились измерять расстояния до звезд. для этого используют специальные приборы, о которых в школе и не знают. но вот как измерили расстояние до  луны, то есть примерно 384000 километров скажу. два 9-классника московской школы взяли 10-метровую рулетку и не верите? и правильно делаете. если бы они измеряли хотя бы 100 км в день, им понадобилось бы больше 10 лет. не говоря о прочих прелестях безвоздушного пространства. а как? наш космический корабль доставил на поверхность луны специальный отражатель, который отражает назад на него луч. потом наши нацелили на него луч лазера и засекли время, за которое луч пролетит туда и обратно. потом разделили на скорость света, примерно 300000 километров в секунду. не родился еще снайпер, который мог бы сделать то, что они сделали - попали за 384000 километров в отражатель размером меньше метра. глубины вод измерялись раньше лотом, то есть веревкой с привязанным грузом.   сейчас измеряют используя отраженный звуковой или ультразвуковой сигнал. скорость известна, время измеряется, глубина вычисляется. для измерения небольших (метров, сантиметров, миллиметров) расстояний используются рулетки, метры, аршины, линейки, в общем приборы со шкалой, градуированной в единицах длины. сейчас все чаще используются лазерные дальномеры, работающие на принципе измерения расстояния до луны. правда эти приборы сразу показывают расстояние. строители до сих пор активно  используют разные теодолиты. масштабные измерения земной поверхности уже давно проводят с аэрофотосъемок или съемок из космоса.  маленькие размеры (меньше миллиметра измеряют с разного рода микрометров. совсем маленькие, межатомные, вычисляются используя сложные технологии, но тоже измеряются. вообще, измерение расстояний - одно из базовых измерений, на которых покоится познание мира и приборы для этого все время улучшаются, придумывают  новые.