Отрезки mn и dk отрезки mn и dk пересекаются в их общей середине b. докажите равенство треугольников mdb и nkb. подробно.

MB=BN   DB=BK 
угол MBD = KBN как вертикальные

треугольники MDB  и  NKB равны по двум сторонам и углу, заключенному между ними (1-й признак равенства треугольников)

Так как вписанная и описанная окружности существуют, то данная трапеция равнобедренной.

По свойства описанного четырехугольника, суммы его противоположных сторон равны:

Две стороны AD и ВС известны, две другие АВ и СD равны между собой, тогда:


Проведем высоты BH и СК, равные диаметру вписанной окружности. Тогда отрезок НК будет равен отрезку ВС, а оставшаяся длина отрезка АD распределится поровну между отрезками АН и КD. Получаем:
;

Рассмотрим треугольник АВН. По теореме Пифагора:

Так как найден диаметр вписанной окружности, то можно найти и радиус:


Проведем диагональ трапеции AC. По теореме Пифагора для треугольника АСК получим:


Рассмотрим треугольник АСD. Окружности, описанные около заданной трапеции и около треугольника ACD совпадают. Тогда найдем радиус описанной окружности треугольника ACD через теорему синусов: отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла есть удвоенный радиус описанной окружности. Удобно записать соотношение в следующем виде:

Неизвестный синус найдем из прямоугольного треугольника АКС:

Выражаем R и подставляем выражение для синуса:


ответ: радиус вписанной окружности ; радиус описанной окружности

Доказательство.

Пусть b – данная прямая, а точка A принадлежит этой прямой. Возьмем некоторый луч b1 на прямой b с начальной точкой в A. Отложим от луча b1 угол (a1b1), равный 90°. По определению прямая содержащая луч a1 будет перпендикулярная прямой b.
Допустим, существует другая прямая перпендикулярная прямой b и проходящая через точку A. Возьмем на этой прямой луч с1, исходящий из точки A и лежащий в той же полуплоскости, что и луч a1. Тогда ∠ (a1b1) = ∠ (c1b1) = 90 º. Но согласно аксиоме 8, в данную полуплоскость можно отложить только один угол, равный 90 º. Следовательно, нельзя провести другую прямую перпендикулярную прямой b через точку A в заданную полуплоскость. Теорема доказана.