Ввозрастающей прогрессии разность пятого и первого членов равна 15 а разность четвёртого и второго членов равна 6. сумма всех членов прогрессии равна 127. определите число членов в данной прогрессии

Дана возрастающая геометрическая прогрессия: b₁,b₂,b3, b₄,b₅, ...Cоставим систему уравнений по условию задачи для нахождения b₁ и q.
b₅ - b₁ = 15 и b₄ -b₂ = 6 (Эти уравнения надо объединить значком системы, но я не могу найти как это напечатать). Преобразуем эту систему:
b₁ *q⁴ - b₁ = 15    и   b₁ * q³ - b₁ * q =6   далее умножим второе уравнение на q:
b₁ *q⁴ - b₁ = 15    и   b₁ * q⁴ - b₁ * q =6 q далее вычтем из первого второе и выразим из него b₁: b₁ *q² - b₁ = 15 - 6q;  b₁(q² - 1) = 15 - 6q
b₁ = (15 - 6q)/(q² -1) Теперь найдем q из уравнения  b₁ * q³ - b₁ * q =6
 b₁ * q(q² - 1)=6 сделаем подстановку:   (15 - 6q)/(q² -1) *q(q² - 1)=6 получим
(15 - 6q) * q =6 раскрыть скобки и привести к стандартному виду 
6q² - 15q + 6 =0 решаем квадратное уравнение относительно q и находим два корня q₁ = 2 и q₂ = 1/2 - этот корень посторонний, т.к. при таком знаменателе прогрессия является убывающей, что противоречит условию. Найдем теперь b₁ из   b₁ *q⁴ - b₁ = 15  b₁ = 15/(q⁴ - 1) = 15/(16-1) =1
Зная, что сумма геом. прогрессии равна 127, найдем количество членов этой прогрессии. Sn = b₁ * (1-q^n)/(1-q)
127 =1 * (q^n -1)/(2-1);  127 =q^n -1; q^n=128=2⁷ Значит n=7
ответ:  7

Треугольники AMC и BMC подобны. В подобных треугольниках углы попарно равны.  ∠АМС=∠ВМС - по условию.  ∠ВСМ≠∠АСМ в противном случае дуга АД  была бы равной дуге АД,  что в свою  очередь  ведет  к равенству дуг СВД и  САД.  Из этого получим,  что  СД - диаметр окружности,  перпендикулярный хорде.  Тогда получим,  что АМ=МВ,  что противоречит условию задачи.
  Значит ∠ВСМ=∠САМ.  Составим отношение сходственных сторон в подобных  треугольниках. АС/СВ=СМ/МВ=АМ/СМ.  В два последних  отношения подставим известные  данные,  получим  СМ/9=4/СМ,  СМ²=36,  СМ=6
  Если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке M, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.  АМ*МВ=СМ*МВ

4*9=6*х,      х=6
  СД=СМ+МД=6+6=12(см)

Если соединить заданную точку с вершинами треугольника, то получим 3 треугольника с боковыми сторонами 3, 4 и 5 и с равными основаниями.
По теореме косинусов составим 3 уравнения, выразив основания "а" через боковые стороны и угол при вершине.
а² = 3²+4²-2*3*4*cosα = 25 - 24*cosα
a² = 4²+5²-2*4*5*cosβ = 41 - 40*cosβ
a² = 5²+3²-2*5*3*cosω = 34 - 30*cosω
Получаем 4 неизвестных: а, α, β и ω.
Поэтому добавляем четвёртое уравнение:
α + β + ω = 2π.
Ниже приведено решение системы этих уравнений методом итераций:
                 α градус   α радиан  cos α            a² =           a =
25   24   150.0020    2.6180     -0.8660     45.7850      6.7665
41   40    96.8676     1.6907     -0.1196      45.7830      6.7663
34   30     113.1304     1.9745  -0.3928      45.7848      6.7664.
С точностью до третьего знака получаем значение стороны равностороннего треугольника, равной 6,766 единиц.