Вравнобедренном треугольнике биссектриса угла при основании пересекает боковую сторону, так , что длинна отрезка, прилежащего к вершине, равна удвоенной длине основания треугольника. найти отношение длины биссектрисы к длине основания.

Если b - боковая сторона, a - основание, то отрезки, на которые делит биссектриса боковую сторону, считая от вершины (противоположной основанию), равны 2a и b - 2a;
Длина биссектрисы L
L^2 = ab - (2a)(b - 2a) = 4a^2 - ab; или (L/a)^2 = 4 - b/a;
Из свойства биссектрисы
a/b = (b - 2a)/(2a) = b/2a - 1; если x = b/a; то 1/x = x/2 - 1; или
x^2 - 2x - 2 = 0; (x - 1)^2 = 3;
x = 1 + √3; (1 - √3 < 0)
Откуда (L/a)^2 = 3 - √3; L/a = √(3 - √3);

ответ: 12.

Приведем основное свойство медианы прямоугольного треугольника:

Медиана, проведенная из вершины прямого угла треугольника к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Из этого мы выводим, что если мы умножим известную нам медиану на 2, то получим гипотенузу:

2,5 * 2 = 5.

Итак, у нас египетский треугольник (треугольник со сторонами 3, 4, 5), но все-таки проверим, чему равен второй катет по теореме Пифагора:

√(5² - 4²) = √(25 - 16) = √9 =3. Все сошлось!

Остался самый последний шаг:

P (треуг.) = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12.

Вот и все! Удачи!

1. Рассмотрим треуг-ик apf. Он равнобедренный по условию, значит, углы при его основании af равны (<paf=<pfa). Пусть этот неизвестный угол будет х, тогда
<bac=x+x=2x,
<paf=<pfa=x,
<apf=180-(<paf+<pfa)=180-2x.
Тогда <bpf=180-<apf=180-(180-2x)=2x.
То есть мы видим, что <bac=<bpf=2х. Это соответственные углы при пересечении двух прямых ac и pf секущей ab. Значит, прямые ас и pf параллельны (признак параллельности двух прямых).
2. Рассмотрим треугольники abc и pbf. Они подобны по первому признаку подобия: два угла одного треуг-ка соответственно равны двум углам другого:
- угол b - общий;
- <bac=<bpf как показано выше.
Для подобных треугольников можно записать отношение сходственных сторон:
pf : ac = bf : bc = 2 : (2+1) = 2 : 3, отсюда
pf = ac*2:3=6*2:3=4 см