Втетраэдре dabc в основании лежит правильный треугольник abc, o-точка пересечения высот этого треугольника, ad=bd=cd, dab=60. найдите косинус угла dao

Δ АВС- правильный, значит АВ=ВС=АС
По условию
AD=DB=DC
Так как в равнобедренном треугольнике DAB   угол при основании DAB равен 60°, то значит все три угла равны по 60°. Треугольник DAB равносторонний и
DA=DA=АВ
Поэтому все ребра пирамиды равны между собой.
Пусть
DA=DB=DC=AB=BC=AC=x
АO=R - радиус окружности, описанной около правильного треугольника АВС
R=x√3/3
Из прямоугольного треугольника  DAO:
cos ∠ DAO=AO/AD=x√3/3 :  x= √3/3

ответ. cos ∠ DAO=√3/3

В ромбе все стороны равны
А также по условию диагональ равна стороне, значит треугольник, образованный сторонами и диагональю равносторонний, значит все углы по 60
Т.к диагонали ромба пересекаются под прямым углом, получаются 4 равных прямоугольных треугольника, а у одного из них один из углов 60, значит 2-ой угол прямоугольного треугольника = 30, а значит углы между диагоналями и сторонами ромба равны 30;30;60;60;30;30;60;60 (по часовой стрелке сверху)
Диагональ ромба делит угол пополам - это свойство ромба, значит углы ромба равны 60;120;60;120
Проверка: 120+120+60+60=360
А сумма углов четырёхугольника = 360, значит решение верно!

Проведем диагональ BC. 
<BAC = <DCB = 60 => <ABC = <ADC= 120 => <ABD = <ADB = 60 (диагональ ромба - биссектриса)В треугольнике ABD все углы равны по 60 => этот треугольник - равносторонний => AB = AD = BD = 18.
Проведем диагональ AC.
Диагонали ромба точкой пересечение делятся пополам => BO = OD = 9, AO = OC (O - точка пересечения диагоналей BD и AC). 
Так как диагонали ромба пересекаются под прямым углом, треугольник AOD - прямоугольный.
По теореме Пифагора: 324 - 81 = 243 => AO =  =  => AC =  =