Основаниеv прямой призмы abcda1b1c1d является квадрат abcd. высота призмы равна диагонали основания. найдите угол между прямой d1b и плоскостью основания призмы.

Решаем через тангенс угла.

Угол между прямыми C₁B и AA₁ равен 35°

Объяснение:

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся (не лежат в одной плоскости).  

В задаче C₁B и AA₁ являются скрещивающимися прямыми (см. рисунок). Углом между двумя скрещивающимися прямыми называют угол между двумя пересекающимися прямыми, соответственно, параллельными данным скрещивающимся прямым.

В силу этого, так как C₁B || D₁A, то угол между прямыми C₁B и AA₁ равен углу между прямыми D₁A и AA₁, то есть ∠A₁AD₁. В треугольнике ΔAA₁D₁:

∠AD₁A₁+∠D₁A₁A+∠A₁AD₁=180°.

Тогда, так как ∠AA₁D₁=90° и ∠AD₁A₁=55°, то ∠A₁AD₁=180°–90°–55°=35°.

1) Вот рисунок 1. Углы при основании равнобедренного треугольника a.
Угол при вершине b.
Биссектриса разбивает угол при основании на два угла a/2.
И она пересекает сторону под углом α. Получается треугольник ABD, у которого углы равны a, a, a/2.
a + a + a/2 = 180°
2a + 2a + a = 360°
5a = 360°
a = 360°/5 = 72°
b = 180° - a - a = 180° - 72° - 72° = 36°.
ответ: 72°, 72°, 36°.

2) а)  Пусть две биссектрисы выходят из основания треугольника.
Тогда основание и биссектрисы образуют маленький треугольник, у которого тупой угол 135°. Тогда сумма двух остальных углов равна
180° - 135° = 45°.
Но ведь эти углы - есть половины углов большого треугольника.
Значит, эти два угла большого треугольника в сумме равны 2*45° = 90°.
Значит, третий угол большого треугольника равен 90°, то есть прямой.
Таким образом, большой треугольник - прямоугольный.

б) Пусть острый угол пересечения биссектрис равен а, тогда тупой 180°-а.
Значит, сумма углов в маленьком треугольнике
b1 + b2 = 180° - (180° - а) = а.
Но эти маленькие углы есть половины от углов большого треугольника.
Поэтому сумма двух углов большого треугольника равна 2а.
2*b1 + 2*b2 = 2a
Значит, третий угол большого треугольника равен 180° - 2а.
А внешний угол к этому углу равен, соответственно, 2а.
То есть вдвое больше, чем острый угол а между биссектрисами.

Оба случая - а) и б) - показаны на 2 рисунке.
Для случая а) тупой угол между биссектрисами 180° - a = 135°.