Снужно решить на доказательство по теме "подобия треугольников" : докажите , что отношение соответствующих медиан , подобных треугольников равно коэффициенту подобия . большое за и внимание !

Здесь нужно рассмотреть малые треугольники, получившиеся при проведении медиан. Они подобны по второму признаку подобия.

Допустим ,что ΔABC ~ ΔA₁B₁C₁   (∠A=∠A₁ ;∠B=∠B₁;∠C=∠C₁)  и пусть
AM и  A₁M₁ медианы этих треугольников.
ΔABC ~ ΔA₁B₁C₁ ⇒k =AB/A₁B₁ =BC/B₁C₁ ⇒k =AB/A₁B₁ =(BC/2) / (B₁C₁/2), но
BC/2=BM ; B₁C₁/2 =B₁M₁Следовательно k =AB/A₁B₁ =BM / B₁M₁.
Значит  ΔABM ~ ΔA₁B₁M₁ (∠B=∠B₁ и стороны этих углов пропорциональны_второй признак подобия треугольников) ,поэтому 
k= AB/A₁B₁= AM/A₁M₁.

Для решения нужно вспомнить. что:
 Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой.
Поэтому h²=9·16=144
h=12
Из треугольников. на которые высота поделила искходный треугольник, по теореме Пиагора найдем катеты:
1)9²+12²=225
√225=15
2)16²+12²=400
√400=20
Катеты равны 15см  и 20 см, 
гипотенуза 9+16=25 см

Можно применить для решения другую теорему.  
Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между 
гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.
Найдем гипотенузу:
9+16=25 см
Пусть меньший катет будет х. 
Тогда его проекция - 9см:
х²= 9·25=225
х=15 см
Больший катет пусть будет у:
у²=25·16=400
у=20 см

1)AB=BC т.к. треугольник равнобедренный 
  AD=DC т.к. в равнобедренном треугольнике высота это ещё и медиана, а  медиана делит основание на 2 равные части
 ответ: по катету и гипотенузе
2)∠BAD=∠BCD т.к. треугольник равнобедренный
   AB=BC т.к. треугольник равнобедренный
ответ по острому углу и гипотенузе
3)∠BAD=∠BCD т.к. треугольник равнобедренный
    AD=DC т.к. в равнобедренном треугольнике высота ещё и медиана, а медиана делит основание на 2 равные части
ответ по катету и острому углу
4)сторона BD общая
   AD=DC т.к. в равнобедренном треугольнике высота ещё и медиана, а медиана делит основание на 2 равные части
ответ по 2-м катетам