Авс-рівнобедрений трикутник(ав=вс), точка м - середина стороги ас. пряма рм перпендикулярна до полщини трикутника доведіть, що кут рва= куту рвс

Рассмотрим треугольники АМР и СМР. Угол М у обоих треугольников равен 90 градусов, значит они прямоугольные. АМ=СМ и сторона МР - общая. Т.к. два катета треугольников равны, значит они равны. Значит СР=АР.
Рассмотрим треугольники АРВ и СРВ. АР=СР. АВ=ВС по условию, а РВ-общая. Треугольники АРВ и СРВ равны по третьему признаку равенства (все стороны равны). Значит угол РВА равен углу РВС.
Рисунок в приложении.

Сумма углов треугольника равна 180 градусов. Остюда второй угол прямоугольного треугольника равен 90-45=45 градусов. Углы равны, следовательно, треугольник равнобедренный прямоугольный треугольник( катеты у него равны)
Косинус угла - это отношение прилежащего катета к гипотенузе
cos A = AC/AB
AC = BC = AB * cos45 = 4√2 см.
С прямоугольного треугольника CDA ( угол ADC = 90 градусов)
Синус угла - это отношение противолежащего катета к гипотенузе:
sin A = CD/AC
CD = AC*sin 45= 4√2*1/√2= 4 см

ответ: СD = 4 см.

Проведём в трапеции ABCD высоты BE и CF из тупых углов. Четырехугольник BCFE является прямоугольником (противоположные стороны попарно параллельны, тогда это параллелограмм, то так как есть прямой угол, это прямоугольник), поэтому EF=BC. Известно, что AD-BC=6, тогда AD-EF=6, откуда AE+DF=6. Так как трапеция равнобокая, AE=DF=6/2=3. Рассмотрим треугольник ABE. Он прямоугольный, так как BE - высота трапеции, кроме того, его гипотенуза AB в 2 раза больше катета AE. Значит, угол лежащий против катета AE - угол ABE -  равен 30 градусам. Тогда второй острый угол этого треугольника - BAD - равен 90-30=60 градусам. В равнобокой трапеции углы при большем основании равны, тогда угол CDA также равен 60 градусам. Углы при меньшем основании также равны, каждый из них равен 90+30=120 градусам (ABC=ABE+EBC=30+90=120).

ответ: углы равны 60, 60, 120, 120 градусам.