Найти длину гипотенузы прямоугольного треугрльника , если его катеты равны 5см и 12см

Х2 = 25+144 х2 = 169 х = 13 (х - гипотенуза) ответ:13

Дано :  ΔABC  остроугольный

AK ⊥ BC ; BD  ⊥ AC ; AH =BC ,                                                                             H = AK ∩ BD  ( H - точка пересечения высот)

∠BAC  -?

ответ:    45° .

Объяснение:

Прямоугольные треугольники  HDA  и CDB равны ( третий признак равенства _ по гипотенузе и острому углу )

ΔHDA  = ΔCDB  

* * * ∠HDA = ∠BDC  = 90 °   * * *    

AH = BC  ( гипотенузы по условию )

∠AHD =∠BCD углы со взаимно перпендикулярными сторонами :  AH⊥ BC ;  HD ⊥ AC (снова  по условию) ,

следовательно AD = BD , т.е. прямоугольный треугольник  ΔADB равнобедренный  ⇒∠BAC = ∠ABC = 45° .

( ! Равенство второго  пара катетов:  HD  = CD можно использовать  при построения  правильного чертежа. )

* * * Если гипотенуза и острый угол одного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны  ( аналог второго признака равенства для "обычных "треугольников" )   * * *

* * * AK ⊥ BC ⇔ AH⊥ BC ; BD ⊥ AC ⇔ HD ⊥ AC )))  * * *

Если две прямые на плоскости пересечены секущей, то для их параллельности необходимо и достаточно, чтобы накрест лежащие углы были равны, или соответственные углы были равны, или сумма односторонних углов равнялась 180°.

1) BC || AD

∠BCA = ∠CAD — накрест лежащие

2) a || b

накрест лежащие углы равны, сумма односторонних равна 180°

3) m || n

m и n ⊥ k — они уже являются параллельными, но, к дополнению, равны и соответственные углы и сумма односторонних 180°, т.к. все углы по 90°.

4) MN || KP

∠NOM = ∠KOP как вертикальные ⇒ ΔMNO равен ΔPKO по первому признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними)

Пары углов (∠N = ∠K) и (∠M = ∠P) — как накрест лежащие

5) SR || PT

SR и PT ⊥ SP — они уже являются параллельными, но, к дополнению, ∠S = ∠P = 90°, ∠SMR = ∠PMR как вертикальные ⇒ ΔSRM равен ΔPTM по второму признаку равенства треугольников (сторона и два прилегающих угла) .

∠R = ∠T — как накрест лежащие

6) d || e

равны соответствующие углы (по 40° и 140°), и сумма односторонних равна 180° (140+40).

7) RS || MQ, RM || SQ

отрезок MS — общий для ΔSRM и ΔMQS. Данные треугольники равны по первому признаку равенства треугольников:

∠RSM = ∠QMS — как накрест лежащие при RS || MQ

∠RMS = ∠QSM — как накрест лежащие при RM || SQ

8) m || n

равны соответствующие углы (по 36° и 144°), и сумма односторонних равна 180° (144+36).

9) a || b

равны накрест лежащие углы (по свойству биссектрисы угла и равнобедренного треугольника)

10) PQ || MN, PM || QN

отрезок PN — общий для ΔPQN и ΔNMP. Данные треугольники равны по первому признаку равенства треугольников:

∠QPN = ∠MNP — как накрест лежащие при PQ || MN

∠QNP = ∠MPN — как накрест лежащие при PM || QN

11) BA || DC

∠BEA = ∠CED как вертикальные ⇒ ΔBEA равен ΔCED по первому признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними)

Пары углов (∠EDC = ∠EAB) и (∠EBA = ∠ECD) — как накрест лежащие

12) m || n

равны накрест лежащие углы (по свойству биссектрисы угла и равнобедренного треугольника)

13) MS || FQ

MS — биссектриса ∠NMQ. Угол ∠NMQ — внешний для вершины M равнобедренного треугольника MFQ. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним ⇒ ∠MFQ = ∠MQF = ∠NMS = ∠SMQ.

∠SMQ = ∠MQF — как накрест лежащие

14) BC || AD, BA || CD

Пары углов (∠BOA = ∠DOC) и (∠BOC = ∠DOA) как вертикальные ⇒ ΔBOA равен ΔDOC и ΔBOC = ΔDOA по первому признаку равенства треугольников.

∠OBC = ∠ODA и ∠OCB = ∠OAD — как накрест лежащие при BC || AD

∠OBA = ∠ODC и ∠OAB = ∠OCD — как накрест лежащие при BA || CD