Гипотенуза прямоугольного треугольника больше одного из катетов на 5 см и больше другого на 10 см. найдите площадь треугольника.

Найдем гипотенузу
x² = (x-5)² + (x-10)²
x² = x² -10x +25 + x² - 20x +100
x² - 30x + 125 = 0
D = (-30)² - 4*125 = 900 - 500 = 400
x₁ = (30 + 20) / 2 =  25 см
x₂ = (30 - 20) / 2 = 5 см - не удовлетворяет условию задачи
Найдем катеты
a = x - 5 = 25 - 5 = 20 см
b = x - 10 = 25 - 10 = 15 см
Найдем площадь треугольника
S = a*b/2 = 20 см * 15 см / 2 = 150 см²

Пусть радиусы  вписанных окружностей  R₁ и R₂,  радиус полукруга R,  его  центр O, а точки касания c диаметром A и  B  и пусть   R= 3R₁.
AB =AO + BO ;   * * *  AB =√((R₁+R₂)² -(R₁-R₂)²) = 2√R₁R₂  * * *
2√R₁R₂ =√((R -R₁)² - R₁²) +√((R -R₂)² - R₂²) ;
2√R₁R₂ =√((3R₁ -R₁)² - R₁²) +√((3R₁ -R₂)² - R₂²) ;
2√R₁R₂ =R₁√3 +√(9R₁² -6R₁R₂) ;
2R₁√R₂/R₁ = R₁√3 + R₁√3√(3 -2R₂/R₁) ;   
2√R₂/R₁ = √3 + √3√(3 -2R₂/R₁)      * * * проводим  замену   R₂/R₁ =x * * *
2√x =√3( 1+ √(3 -2x)) ;
4x =3(1 +2√(3 -2x)+3 - 2x) ;
5x -6 = 3√(3-2x)  ;         * * *      1,2≤x ≤1,5 * * *
25x² - 60x +36 =27 -18x ;
25x² -42x  +9 =0 ;
x =(21 -6√6)/25≈0,25  не решение   x ∉ [1,2 ;1,5 ] .
x =(21 +6√6)/25≈1,43.

ответ : (21 +6√6)/25 ≈1,43 .

стоит проверить арифметику

<C = 90° ;a₁ = 48 см ;  b₁ =27 см  ; длина гипотенузы :  c = a₁+ b₁ = 48 см+27 см=75 см . 

Определим    длину высоты опущенной на гипотенузу :
hc=√ 48*27 =√ 16*3*3*9 =4*9 =36 (см ) .
Найдем длины катетов :
a² =c*a₁ ⇒a =√(75*48) =√25*3*3*16 =5*3*4 =60 (см )
 b² = c*b₁⇒b = √(75*27) = √25*3*3*9 =5*9 = 45 (см)²
Периметр треугольника будет  :P=  a + b+  c = 60 см  +45 см+75 см = 180 см .

Или по другому  a² = a₁² + hc² = 48² +36² =(12*4)² +(12*3)² =12²(4²+3²) =(12*5)²⇒a =12*5=60.
b² =b₁² +hc²=27² + 36² =(9*3)² +(9*4)² =(9*5)² ⇒b =9*5 =45.