Вравнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза и высота, проведенная на гипотенузу, в сумме равна 27 см.вычислите высоту треугольника.

Так как прямоугольный треугольник равнобедренный, то высота является и медианой. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы: h=с/2; Составим систему уравнений: с/2 = h (1); c + h = 27 (2); с=2h подставим в (2); 2h+h=27; 3h=27; h=9 см; oтвет: 9

Дан квадрат ABCD. Диагональ AC точками M, O, N разделена на четыре равные части. Докажите, что MBND - ромб.

Проведём вторую диагональ BD квадрата ABCD.
По условию AM = MO = ON = NC. Отсюда АО = ОС
Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, и точкой пересечения делятся пополам => AC перпендикулярен BD.
Диагональ BD проходит через середину первой диагонали, то есть через точку О.
Значит, MN перпендикулярен BD
МО = ОN , BO = OD
Диагонали данного четырехугольника ВMDN взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Из этого следует, что четырехугольник ВMDN является ромбом, что и требовалось доказать.

Правильный тетраэдр - это правильная треугольная пирамида у которой все грани являются равносторонними треугольниками. Искомый угол - это угол между высотами двух соседних граней (по определению), то есть это угол при вершине равнобедренного треугольника с боковыми сторонами - высотами граней и основанием - стороной основания тетраэдра. Высота правильного треугольника равна  h=(√3/2)*a, где а - сторона треугольника. Тогда по теореме косинусов: Cosα = (AH+BH²-AB²)/(2*AH*BH) или в нашем случае

Cosα =(1/2)*а²/((1/2)*3а²) = 1/3.

ответ: α = arccos(1/3) ≈ 70,5°.