Высота правильной треугольной пирамиды равна 8 , а высота апофемы равна 10 . найдите косинус угла между бок гранью и основанием пирамиды

Обозначим высоту - Н, апофему - А, угол между боковой гранью и основанием пирамиды - α.
Отношение  Н/А = sin α.
соs α = √(1-sin²α) = √(1-(8/10)²) = √(1-(4/5)²) =  √(1-(16/25)) = √(9/25) = 3/5.

AB=6cм, ВС=10 см, BH=8 cм
AB=CD=6 см, BC=AD=10 см (протвоположные стороны параллелограмма равны)

если точка H лежит на стороне AD, K на CD (рисунок)
Площадь параллелограмма равна произвеедению его стороны на высоту, опущенную на эту сторону
S=AD*BK=CD*BH
Отсюда BH=AD*BK/CD
BH=10*8/6=40/3 см=13 1/3 cм

если точка K лежит на стороне AD, H на CD (рисунок аналогичный только точки Н и К поменять местами)
Площадь параллелограмма равна произвеедению его стороны на высоту, опущенную на эту сторону
S=AD*BH=CD*BK
Отсюда BH=CD*BK/AD
BH=6*8/10=4.8 см

Вот смотри, если же все грани параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 - квадраты, то это куб.  

Плоскости DA1 B1 и MKP параллельны по условию твоей задачи, если эти плоскости параллельны, то они пересекают плоскость ADD1 по параллельным прямым MК и DA1 и есть плоскость CBB1 по параллельным прямым ЕР и CB1.

MKРЕ -как раз и искомое сечение. КМ- гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника с катетом а/2, КМ=а√2 /2.  КР=а. 

Тогда периметр  Р=2*(а√2 /2+а)=а√2+2а=а(√2+2).

Я думаю, числовые значения из твой задачи можно подставить самостоятельно :в