Медиана равностороннего треугольника равна 11 найдите его сторону

По теореме Пифагора: а² = (а/2)² + 11².
3/4 · а² = 11²
а² = 11²·4/3
а = 22/√3 = 22√3/3 см

Точки M и N - середины сторон ВС и АВ.

Отрезок MN - средняя линия треугольника АВС.

Она делит высоту пополам.

Фигура ANMC - трапеция с высотой 6 и диагоналями AM = 6√5 и CN = 7,5.

Если из точки M провести отрезок, равный и параллельный диагонали NC, то получим треугольник, равный по площади трапеции.

Основание этого треугольника АМ1 равно сумме АС + MN.

Находим проекции диагоналей на основание, длина их равна АМ1.

АМ1 = √((6√5)² -6²) + √(7,5² - 6²) = 12 + 4,5 = 16,5.

Площадь трапеции равна (1/2)*6*16,5 = 49,5 кв.ед.

По свойству подобия площадь треугольника АВС равна (4/3) площади трапеции.

ответ: S(ABC) = 49.5*(4/3) = 66 кв.ед.

Дано :
тр. АВС - прямоугольный
∠С= 90°
АВ  - гипотенуза
ВС, АС  - катеты

Решение задачи по теореме Пифагора:
квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
АВ² = ВС² + АС²
Треугольник существует  если  сумма двух любых сторон треугольника больше, чем его третья сторона .

1 вариант.
ВС= 3 м ,  АС = 4 м 
АВ² = 3² + 4²  = 9+16 = 25        ⇒ АВ = 5 м
Имеет ли право такой треугольник на существование:
ВС + АС > АВ          3+4> 5 ;  7>5
ВС + АВ > AC          3+5 >4 ;  8>4
АС + АВ > BC          4 +5 > 3 ;  9>3
Треугольник со сторонами АВ=5 м, ВС= 3м , АС=4м  существует.
ответ: АВ= 5 м

2 вариант.
АВ=3 м ,  ВС= 4 м ; АС - ?
3² = 4² + АС²    
 АС²= 9 - 16 = - 7 не удовлетворяет условию задачи, т.к. сторона в квадрате не м.быть отрицательной величиной

3 вариант:
АВ=4 м , ВС=3 м ,  АС - ?
4² = 3³ + АС² 
АС²= 16 - 9 = 7     ⇒ АС = √7 м   (≈2.65 м)    
ВС+АС >АВ          3 +√ 7 >  4
ВС + АВ > AC       3 + 4 > √ 7
AC + AB > BC        √7 + 4 > 3        
Треугольник со сторонами  АС = √7 м , АВ=4 м , ВС=3 м  существует.
ответ: АС=√7 м.