50 . 8 класс. правильно решить! в параллелограмме abcd сторона ав =6, а высота, проведенная к основанию ad, равна 3. биссектриса угла bad пересекает сторону bc в точке m так, что mc=4; n - точка пересечения биссектрисы am и диагонали bd. найдите площадь треугольника bnm.

Решение...............

Если воспользоваться готовой формулой для радиуса вписанной в правильный тетраэдр сферы - то всё попроще. но попробуем обойтись без этой формулы.
на первом рисунке изображён тетраэдр и сечение вписанной сферы плоскостью СРТ
Низ красный, верх синий
Примем сторону тетраэдра за 1. тогда в треугольнике АКР
АР = 1/2
∠РАК = 30°
КР/АР = tg(30) = 1/√3
КР = 1/(2√3)
КР/АК = sin(30°)
АК = 2*КР = 1/√3
И так как К - точка пересечения медиан основания, то
СК = АК = 1/√3
Переходим к ΔАРТ
РТ²+АР² = АТ²
РТ² + 1/4 = 1
РТ² = 3/4
РТ = √3/2
Переходим к ΔКРТ
КТ²+1/(2√3)² = (√3/2)²
КТ²+1/(4*3) = 3/4
КТ² = 3/4-1/12 = 9/12-1/12 = 8/12 = 2/3
КТ = √(2/3) - это высота пирамиды
Пора искать радиус вписанной сферы
ΔКРТ и ΔХОТ подобны - общий угол Т, по прямому углу и третий угол равен в силу того, что два равны и сумма углов треугольника 180°
ОХ = ОК = r
КР/ОХ = РТ/ОТ
1/(2√3)/r = √3/2/(√(2/3)-r)
(√(2/3)-r)/(2√3) = √3/2*r
√(2/3)-r = 2√3√3/2*r
√(2/3)-r = 3r
√(2/3) = 4r
r = 1/(2√2√3) = 1/(2√6)
Хорошо :)
В правильный тетраэдр с единичным ребром можно вписать сферу радиуса 1/(2√6)
Если радиус сферы R, то ребро тетраэдра будет a = 1/(1/(2√6)) = 2√6
площадь одной грани
S₁ = 1/2*a²*sin(60°) = 2*6*√3/2 = 6√3
И полна плошадь тетраэдра в 4 раза больше
S = 24√3

ответ: ∠ВАС = ∠ВСА = 30 ° ;  ∠АВС = 120° .

Условия задачи:

Δ АВС - равнобедренный , следовательно:

Боковые стороны равны ⇒  АВ=ВС = 14,2 см  

Углы при основании равны :

АС  - основание  ⇒ ∠BAC (∠BAD) = ∠BCA (∠BCD) 

BD =7,1 см   - высота к основанию АС ⇒  является медианой и биссектрисой : 

∠BDA = ∠BDC = 90° ( т.к. BD - высота)

AD = DC = АС/2   (т. к. BD - медиана)

∠ABD = ∠CBD  (т. к. BD - биссектриса)

ΔBDA  =  ΔBDC   - прямоугольные треугольники 

Решение.

1) ΔBAD  

По условию катет BD = 7,1 см ,  гипотенуза АВ = 14,2 см , следовательно :

BD = 1/2  * AB  =  1/2  * 14,2 = 7,1 см 

Если катет равен  половине гипотенузы, то угол лежащий против  этого катета равен 30°  ⇒∠DAB (∠ BAC) = 30°

Проверим по определению синуса:

sin A  = 7/14 = 1/2     ⇒ ∠BAC (∠BAD ) = ∠BCA (∠BCD) = 30°

2) ΔАВС :

Сумма  углов  любого треугольника  = 180°

∠АВС = 180°  - (∠ВАС + ∠ВСА)

∠АВС  =  180  -  2*30  = 120 °